3) Realicen un análisis completo de cada una de las siguientes funciones homográficas: dominio e imagen, asíntotas vertical y horizontal, raíz, ordenada la origen, conjuntos de positividad y negatividad, intervalo de crecimiento y decrecimiento. Luego grafiquen utilizando los elementos encontrados: a) h(x) = 2.c+4 2-3 2+2 b) f(x) = 30-4 c) g(x) = 4–22 2+1 d) h(x) = 2+2 = 4x
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
1. Introducción
A veces, la gráfica de una función se acerca infinitamente a algunas rectas. Estas rectas se denominan asíntotas.
Ejemplo
Explicamos los tres tipos de asíntotas (horizontal, vertical y oblicua) y resolvemos algunos problemas, con gráficas. Funciones. Gráficas. Límites. Matemáticas.
La asíntota es la recta de color rojo y su ecuación es
y
=
x
+
1
.
Una asíntota puede ser horizontal, vertical u oblicua (como en el ejemplo).
A continuación, definimos y explicamos cómo calcular las asíntotas de una función.
2. Asíntota horizontal
Una función
f
(
x
)
tiene la asíntota horizontal
y
=
k
∈
R
si su límite cuando
x
tiende a infinito es
k
.
Distinguimos tres casos:
Asíntota horizontal por la izquierda si
Explicamos los tres tipos de asíntotas (horizontal, vertical y oblicua) y resolvemos algunos problemas, con gráficas. Funciones. Gráficas. Límites. Matemáticas.
Asíntota horizontal por la derecha si
Explicamos los tres tipos de asíntotas (horizontal, vertical y oblicua) y resolvemos algunos problemas, con gráficas. Funciones. Gráficas. Límites. Matemáticas.
Si ambos límites son iguales, decimos simplemente que
y
=
k
es una asíntota horizontal de
f
(
x
)
.
Para calcular la asíntota horizontal sólo tenemos que calcular los límites cuando
x
→
±
∞
.
Ejemplo
Explicamos los tres tipos de asíntotas (horizontal, vertical y oblicua) y resolvemos algunos problemas, con gráficas. Funciones. Gráficas. Límites. Matemáticas.
Calculamos los límites:
Explicamos los tres tipos de asíntotas (horizontal, vertical y oblicua) y resolvemos algunos problemas, con gráficas. Funciones. Gráficas. Límites. Matemáticas.
La función tiene la asíntota
y
=
2
por ambos lados.
Gráfica:
Explicamos los tres tipos de asíntotas (horizontal, vertical y oblicua) y resolvemos algunos problemas, con gráficas. Funciones. Gráficas. Límites. Matemáticas.
También, hay asíntotas verticales:
x
=
±
√
2
/
2
:
Explicamos los tres tipos de asíntotas (horizontal, vertical y oblicua) y resolvemos algunos problemas, con gráficas. Funciones. Gráficas. Límites. Matemáticas.
3. Asíntota vertical
Una función
f
(
x
)
tiene la asíntota vertical
x
=
k
∈
R
si su límite cuando
x
tiende a
k
es infinito.
También, distinguimos tres casos:
Asíntota vertical por la izquierda si
Explicamos los tres tipos de asíntotas (horizontal, vertical y oblicua) y resolvemos algunos problemas, con gráficas. Funciones. Gráficas. Límites. Matemáticas.
Asíntota vertical por la derecha si
Explicamos los tres tipos de asíntotas (horizontal, vertical y oblicua) y resolvemos algunos problemas, con gráficas. Funciones. Gráficas. Límites. Matemáticas.
Si ambos límites son iguales, decimos simplemente que
y
=
k
es una asíntota vertical de
f
(
x
)
.
Las funciones racionales (fracción de polinomios) tienen asíntotas verticales en las raíces del denominador.
Ejemplo
Explicamos los tres tipos de asíntotas (horizontal, vertical y oblicua) y resolvemos algunos problemas, con gráficas. Funciones. Gráficas. Límites. Matemáticas.
Calculamos los límites cuando
x
→
5
:
Explicamos los tres tipos de asíntotas (horizontal, vertical y oblicua) y resolvemos algunos problemas, con gráficas. Funciones. Gráficas. Límites. Matemáticas.
Por tanto,
x
=
5
es una asíntota por ambos lados.
Gráfica:
Explicamos los tres tipos de asíntotas (horizontal, vertical y oblicua) y resolvemos algunos problemas, con gráficas. Funciones. Gráficas. Límites. Matemáticas.
Observad que también tiene la asíntota horizontal
y
=
1
.
La función logaritmo es un ejemplo de función que tiene una asíntota vertical (
x
=
0
) sólo por un lado (por la derecha):
Explicamos los tres tipos de asíntotas (horizontal, vertical y oblicua) y resolvemos algunos problemas, con gráficas. Funciones. Gráficas. Límites. Matemáticas.
Los
k
candidatos para ser asíntotas verticales suelen ser los
x
=
k
para los que
f
(
x
)
presenta problemas en su definición.
4. Asíntota oblicua
Explicación paso a paso: