Question

3. Los vértices de una elipse son los puntos V(-7, 2) y V(9, 2) y la longitud de cada uno de los lados rectos es 9. Hallen su ecuación, las coordenadas de los focos y su excentricidad.​

Answer 1

La ecuación de la elipse es $\frac{(x-1)^2}{64}+\frac{(y-2)^2}{36}=1$, la excentricidad es $\sqrt{\frac{7}{16}}$ y los focos están en los puntos $(1+\sqrt{28},2)$ y $(1-\sqrt{28},2)$

Obtención de la ecuación de la elipse

El centro de la elipse es el punto medio del segmento que une a los dos vértices, por lo que queda:

$C=(\frac{-7+9}{2},\frac{2+2}{2})=(1,2)$

El semieje mayor es igual a la distancia entre cualquiera de los vértices y el centro, como los vértices están sobre una recta horizontal, el cuadrado del semieje mayor divide al término que contiene a 'x':

$\frac{(x-1)^2}{(9-1)^2}+\frac{(y-2)^2}{b^2}=1\\\\\frac{(x-1)^2}{64}+\frac{(y-2)^2}{b^2}=1$

Si el lado recto mide 9, el semi-latus rectum es $\frac{9}{2}$. Teniendo el semieje mayor podemos hallar la excentricidad:

$a(1-\epsilon^2)=l\\\epsilon=\sqrt{1-\frac{l}{a}}=\sqrt{1-\frac{\frac{9}{2}}{8}}=\sqrt{1-\frac{9}{16}}\\\\\epsilon=\sqrt{\frac{7}{16}}$

Con esta excentricidad podemos calcular el semieje menor:

$\epsilon=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\\\\\epsilon^2=1-\frac{b^2}{a^2}\\\\b=\sqrt{a^2(1-\epsilon^2)}=\sqrt{8^2(1-(\sqrt{\frac{7}{16}})^2)}\\\\b=8\sqrt{1-\frac{7}{16}}=8.\frac{3}{4}=6$

La ecuación de la elipse queda:

$\frac{(x-1)^2}{64}+\frac{(y-2)^2}{6^2}=1\\\\\frac{(x-1)^2}{64}+\frac{(y-2)^2}{36}=1$

Coordenadas de los focos de la elipse

Ahora quedan los focos de la elipse, con los dos semiejes podemos hallar la semi-distancia focal:

$c^2=a^2-b^2\\\\c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{8^2-6^2}\\\\c=\sqrt{28}$

Como la elipse es horizontal, las coordenadas de los dos focos quedan:

$(x_0+c,y_0)=(1+\sqrt{28},2)\\\\(x_0-c,y_0)=(1-\sqrt{28},2)$