Question

3. Factoriza el siguiente polinomio en Q:
P(x) = x4 – x2 – 2x – 1.
Luego, calcula la suma de los términos inde-
pendientes de sus factores primos.
Ayudaaaaaa por favor:c lo tengo que entregar en media hora ​

Answer 1

$p(x) = x {}^{4} - {x}^{2} - 2x - 1$

$x {}^{4} + 0x {}^{3} - x {}^{2} - 2x - 1 \\ 1x {}^{2} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: - 1 \\ 1x {}^{2} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: 1$

Se debe tener : -1x^2 -

Se tiene : 0x^2

_________________

Falta: -x^2

$x {}^{4} + 0x {}^{3} - x {}^{2} - 2x - 1 \\ 1x {}^{2} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: - x \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: - 1 \\ 1x {}^{2} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: x \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: 1$

Si te fija el producto en aspa y su suma cumple por lo tanto esta factorizado en 2 trimonios:

$p(x) = (x {}^{2} - x - 1)(x {}^{2} + x + 1)$

Ahora como nos piden factorizar hasta en los racionales hallamos las raices del primer factor:

$p(x) =(x - \frac{1 + \sqrt{5} }{2} )(x - \frac{1 - \sqrt{5} }{2} )(x {}^{2} + x + 1)$

Y como nos piden la suma de los terminos independientes de los factores primos:

$= \frac{ - 1 - \sqrt{5 } - 1 + \sqrt{5} }{2} + 1 \\ = \frac{ - 2}{2} + 1 \\ = - 1 + 1 \\ = 0$