Question

3. En un elevador de estación de servicio, el embolo grande mide 80cm de
diámetro, y el pequeño 25cm de diámetro. ¿Qué fuerza se necesitará ejercer
en el embolo pequeño para levantar un automóvil, que, junto con el émbolo
grande y las vigas de soporte, pesa 80000N?​

Answer 1

La fuerza que se necesitará ejercer en el émbolo menor de es 7812.5 N

Solución

Empleamos el Principio de Pascal

Una aplicación de este principio es la prensa hidráulica.

Por el Principio de Pascal

$\large\boxed{ \bold{ P_{A} = P_{B} }}$

Teniendo

$\large\boxed{ \bold{ \frac{ F_{A} }{ S_{A} } = \frac{ F_{B} }{ S_{B} } }}$

Donde consideramos que los émbolos se encuentran a la misma altura

Por tanto se tienen dos émbolos uno pequeño o el émbolo menor de un lado y el émbolo mayor al otro lado

Donde si se aplica una fuerza F al émbolo de menor área el resultado será una fuerza mucho mayor en el émbolo de mayor área o embolo mayor y viceversa

Para que se cumpla la relación

$\large\boxed{ \bold{ \frac{ F_{A} }{ S_{A} } = \frac{ F_{B} }{ S_{B} } }}$

Por enunciado sabemos que la fuerza aplicada sobre el émbolo grande (mayor) es de 80000 N

Luego

$\large\boxed{ \bold{ F_{B} = 80000 \ N }}$

Determinamos la superficie del émbolo grande (mayor)

Embolo Mayor

El émbolo mayor tiene un diámetro de 80 centímetros

Hallamos la superficie o área del émbolo mayor empleando la fórmula para calcular el área de un círculo

$\boxed{ \bold{S = \pi \ . \ \left( \frac{D^{2} }{4} \right) }}$

$\large\textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed{ \bold{S_{B} = \pi \ . \ \frac{(80 \ cm) ^{2} }{4} }}$

$\boxed{ \bold{S_{B} = \pi \ . \ \frac{6400 \ cm ^{2} }{4} }}$

$\large\boxed{ \bold{S_{A} = \pi \ 1600\ cm^{2} }}$

La superficie o área del émbolo grande es de π 1600 centímetros cuadrados

Determinamos la superficie del émbolo pequeño (menor)

Embolo Menor

El émbolo menor tiene un diámetro de 25 centímetros

Hallamos la superficie o área del émbolo menor empleando la fórmula para calcular el área de un círculo

$\boxed{ \bold{S = \pi \ . \ \left( \frac{D^{2} }{4} \right) }}$

$\large\textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed{ \bold{S_{A} = \pi \ . \ \frac{(25 \ cm) ^{2} }{4} }}$

$\boxed{ \bold{S_{A} = \pi \ . \ \frac{625 \ cm ^{2} }{4} }}$

$\large\boxed{ \bold{S_{A} = \pi \ 156.25\ cm^{2} }}$

La superficie o área del émbolo pequeño es de π 156.25 centímetros cuadrados

Hallamos la fuerza de entrada requerida que se debe ejercer en el émbolo pequeño

Por el Principio de Pascal

$\large\boxed{ \bold{ P_{A} = P_{B} }}$

Teniendo

$\large\boxed{ \bold{ \frac{ F_{A} }{ S_{A} } = \frac{ F_{B} }{ S_{B} } }}$

$\bold{ F_{A }} \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Fuerza sobre \'embolo menor }$

$\bold{ S_{A} } \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{\'Area \'embolo menor }\ \ \bold { \pi \ 156.25\ cm^{2} }$

$\bold{ F_{B }} \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Fuerza sobre \'embolo mayor}\ \ \bold { 80000\ N}$

$\bold{ S_{B} } \ \ \ \ \ \ \large\textsf{ \'Area \'embolo mayor }\ \ \bold { \pi \ 1600\ cm^{2} }$

$\large\boxed{ \bold{ \frac{ F_{A} }{ S_{A} } = \frac{ F_{B} }{ S_{B} } }}$

$\large\textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed{ \bold{ \frac{ F_{A} }{ \pi \ 156.25\ cm^{2} } = \frac{ 80000 \ N }{ \pi \ 1600 \ cm^{2} } }}$

$\boxed{ \bold{ F_{A} = \frac{ 80000 \ N\ . \ \pi \ 156.25\ cm^{2} }{ \pi \ 1600\ cm^{2} } }}$

$\boxed{ \bold{ F_{A} = \frac{ 80000 \ N\ . \ \not \pi \ 156.25\ \not cm^{2} }{ \not \pi \ 1600\ \not cm^{2} } }}$

$\boxed{ \bold{ F_{A} = \frac{ 80000 \ . \ 156.25 }{ 1600 } \ N }}$

$\boxed{ \bold{ F_{A} = \frac{ 12500000 }{ 1600 } \ N }}$

$\large\boxed{ \bold{ F_{A} = 7812.5 \ N }}$

La fuerza que se necesitará ejercer en el émbolo menor de es 7812.5 N