Question

3. El lado de la base de una pirámide cuadrangular es de 1 metros y el ángulo APD=60°. Halla su volumen. A B 60 D C​

Answer 1

Del dibujo se puede deducir lo siguiente.

El ángulo marcado que dice medir 60º es el DPC pero de hecho todos los ángulos de las caras laterales miden igual ya que siendo una pirámide regular, los triángulos que forman esas caras son EQUILÁTEROS.

Siendo triángulos equiláteros, el lado del cuadrado que forma la base mide lo mismo que las aristas de la pirámide.

Aclarado todo eso, lo que hacemos es calcular la mitad de la diagonal de la base a partir de lo que mide el lado.

La fórmula que relaciona lado y diagonal de cualquier cuadrado dice:

Diagonal = Lado × √2

Así pues, la diagonal de ese cuadrado mide:  1 × √2 = √2 metros

La mitad de esa diagonal (OC) será uno de los catetos que junto con la altura (PO) ---que será el otro cateto--- forma un triángulo rectángulo (POC) con la arista de la pirámide que ya hemos deducido que mide lo mismo que el lado, o sea, 1 metro la cual será la hipotenusa.

La mitad de la diagonal es:  √2 / 2  metros.

Por Pitágoras:

                     $C=Altura\ (PO)=\sqrt{H^2-c^2} \\ \\ C=\sqrt{1^2-(\frac{\sqrt{2} }{2})^2}=\sqrt{1-\dfrac{2}{4} } =\sqrt{\dfrac{1}{2} } ={\dfrac{1}{\sqrt{2} } =\dfrac{\sqrt{2} }{2}$

Conocida la altura, el volumen de la pirámide se calcula con la fórmula:

                        $V=\dfrac{\'Area\ base\times Altura}{3}$

El área de la base es el área del cuadrado que midiendo 1 metro de lado, el área es:

A = Lado² = 1² = 1 m²

Y sustituimos en la fórmula anterior:

$V=\dfrac{1\times\frac{\sqrt{2} }{2} }{3} =\dfrac{\sqrt{2} }{6} =\boxed{\bold{0,2357\ m^3}}$