3.El beneficio semanal de una estación de servicio depende de los litros de nafta
sin plomo que vende, según la función: y = -〖x 〗^2+ 46x-205.
La variable x se mide en miles de litros y el beneficio y en pesos.
La estación de servicio tiene capacidad de comercializar 50.000 litros por semana. Se desea conocer:
1) ¿Cuánto dinero pierde si no vende ningún litro de nafta?
2) ¿Cuántos litros se deben vender para que el beneficio sea máximo?
3) ¿Para qué cantidad de litros no hay pérdida ni ganancia?
4) ¿Cuántos litros de combustible deberían venderse para que la actividad sea rentable (produzca ganancia)?
Respuestas a la pregunta
Respuesta: Para el primero, calcular [texx]x[/texx] que hace que [texx]P(X\le x)=\int_0^x f_X(t)\,dt=0.9[/texx], para ver el consumo que se produce con un 90% de probabilidad. Obtengo [texx]x=0.3690[/texx].
Para el segundo, no tengo muy claro la función a componer a partir de la demanda [texx]X[/texx].
Tentativamente:
[texx]g(x)=\begin{Bmatrix} 0.12\cdot x+L\sqrt L & \mbox{ si }& 0< x\le L\\(0.12-\sqrt L)\cdot L & \mbox{si}& x>L \end{matrix}[/texx]
Así, si [texx]X[/texx] es la demanda (consumo de los clientes), entonces [texx]Y=g(X)[/texx] son los beneficios semanales.
Finalmente, calculo la esperanza (función que habría que optimizar), pero la expresión resulta harto complicada, lo que me hace pensar que esta función no es correcta.
La expresión de la esperanza es [texx]\int_{\mathbb{R}} g(x)\cdot f_X (x)\,dx[/texx], que se separaría en dos integrales de acuerdo a la definición de [texx]g(x)[/texx].
Por aquí me quedo. ¿Ayudita porfa? ;) :D
El primero lo tienes bien planteado (no he comprobado las cuentas)-
En el segundo caso ten en cuenta que [texx]x[/texx] está en miles de litros y el dinero en céntimos. Además creo que te has equivocado en un signo.
Por tanto sería:
[texx]g(x)=\begin{Bmatrix} 12\cdot 1000\cdot x-\sqrt L & \mbox{ si }& 0< x\le \color{red}L/1000\color{black}\\\color{red}12\cdot L-\sqrt{L}\color{black} & \mbox{si}& x>\color{red}L/1000\color{black} \end{matrix}[/texx]
Ahora calcula la esperanza y optimiza; las cuentas no son complicadas.
Saludos.
Explicación paso a paso: