3. ¿Ejecutas un plan obedeciendo a las
propiedades de las igualdades?
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
solver ecuaciones algebraicas usando la propiedad aditiva de la igualdad.
· Resolver ecuaciones algebraicas usando la propiedad multiplicativa de la igualdad.
Introducción
Escribir y resolver ecuaciones es una parte importante de las matemáticas. Las ecuaciones algebraicas pueden ayudarte a modelar situaciones y resolver problemas en donde hay cantidades desconocidas. El tipo más simple de ecuación algebraica es la ecuación lineal que tiene sólo una variable.
Expresiones y Ecuaciones
Una ecuación es un enunciado matemático donde dos expresiones son iguales. Una ecuación siempre tendrá el signo de igual con una expresión a cada lado. Las expresiones están hechas de términos, y el número de términos en cada expresión en una ecuación puede variar.
Las ecuaciones algebraicas contienen variables, símbolos que representan una cantidad desconocida. Las variables normalmente se representan con letras, como x, y, o z. Algunas veces una variable se multiplica por un número. A este número se le conoce como el coeficiente de una variable. Por ejemplo, el coeficiente de 3x es 3.
Usando la Propiedad Aditiva de la Igualdad
Una propiedad importante de las ecuaciones es una que dice que puedes sumar la misma cantidad a ambos lados de la ecuación y la ecuación mantiene su equivalencia. Algunas veces las personas se refieren a esto como mantener la ecuación “balanceada”. Si imaginas una ecuación como una balanza, las cantidades en cada lado de la ecuación son iguales, o están balanceadas.
Veamos una ecuación numérica simple, 3 + 7 =10, para explorar la idea de que una ecuación balanceada.
Las expresiones en cada lado del signo igual son iguales, por lo que puedes añadir el mismo valor a cada lado y mantener la igualdad. Veamos qué pasa cuando añadimos 5 a cada lado.
3 + 7 + 5 = 10 + 5
Como cada expresión es igual a 15, puedes ver que añadir 5 a cada lado de la ecuación original resulta en una ecuación válida. La ecuación sigue “balanceada.”
Por otro lado, veamos lo que pasa cuando añadimos 5 a sólo un lado de la ecuación.
3 + 7 = 10
3 + 7 + 5 = 10
15 ≠ 10
Sumar 5 a sólo un lado de la ecuación resulta en una ecuación falsa. ¡La ecuación ya no está “balanceada”, y ya no es válida!
Propiedad Aditiva de la Igualdad
Para todos los números reales a, b, y c: Si a = b, entonces a + c = b + c.
Si dos expresiones son iguales una con otra, y sumas el mismo valor a ambos lados de la ecuación, la ecuación permanece igual.
Cuando resuelves una ecuación, encuentras el valor de la variable que hace válida la ecuación. Para resolver una ecuación, puedes despejar la variable. Despejar la variable significa reescribir una ecuación equivalente en la que la variable está a un lado de la ecuación y todo lo demás está al otro lado de la ecuación.
Cuando la ecuación contiene una suma o una resta, usas la operación inversa para “deshacer” la operación para despejar la variable. Para la suma y la resta, la meta es volver 0 cualquier valor que se suma o se resta, 0 es la identidad aditiva.
Ejemplo
Problema
Resolver x – 6 = 8.
Esta ecuación significa que si tienes un número desconocido x, y le restas 6, te resultará un 8. Estás tratando de averiguar el valor de la variable x.
Usando la Propiedad Aditiva de la Igualdad, suma 6 a cada lado de la ecuación para despejar la variable. Sumas 6, porque se está restando 6 de la variable.
Respuesta
x = 14
Como la resta puede escribirse como una suma (sumando el opuesto), la propiedad aditiva de la igualdad puede usarse en la resta también. Entonces, así como puedes sumar el mismo valor a cada lado de la ecuación sin cambiar su validez, también puedes restar el mismo valor a cada lado de la ecuación.
Ejemplo