Question

3. Determina los puntos de intersección de las gráficas determinadas por las ecuaciones: x² + (y-2)² = 5; 2x + y = 2.​

Answer 1

Nuestras ecuaciones son:

                                      $\begin{array}{ccccc}\\\sf{x^2 + (y-2)^2 = 5}&\cdots&\sf{(i)}\\\\\sf{2x + y = 2}&\cdots&\sf{(ii)\\\\\end{array}$

Despejamos la variable "y" de (ii)

                                                 $\begin{array}{c}\\\sf{2x + y = 2}\\\\\boxed{\sf{ y = 2-2x}}\end{array}$

Reemplazamos "y" en (i)

                                       $\begin{array}{c}\sf{x^2 + (\boldsymbol{\sf{y}} - 2)^2=5}\\\\\sf{x^2 + \big(\boldsymbol{\sf{(2 - 2x)}} - 2\big)^2=5}\\\\\sf{x^2 + (-2x)^2=5}\\\\\sf{x^2 + 4x^2=5}\\\\\sf{5x^2=5}\\\\\sf{x^2=1}\\\\\begin{array}{cccc}\boxed{\sf{x_1=1}}&&&\boxed{\sf{x_2=-1}}\end{array}\end{array}$

El que nos de dos valores nos indica que las dos gráficas se intersectarán en dos puntos, entonces reemplazamos los valores de "x" en cualquiera de las ecuaciones para determinar los puntos.

             $\begin{array}{ccccccccccc}\begin{array}{c}\\\sf{*\ Cuando\ x_1=1}\\\\\sf{2x + y = 2}\\\\\sf{2x_1 + y = 2}\\\\\sf{2(1) + y = 2}\\\\\sf{2 + y = 2}\\\\\boxed{\sf{ y = 0}}\\\\\sf{Punto\ de\ intersecci\acute{o}n}\\\\\red{\sf{(1,0)}}\end{array}&&&&&&\begin{array}{c}\\\sf{*\ Cuando\ x_2=-1}\\\\\sf{2x + y = 2}\\\\\sf{2x_2 + y = 2}\\\\\sf{2(-1) + y = 2}\\\\\sf{-2 + y = 2}\\\\\boxed{\sf{ y = 4}}\\\\\sf{Punto\ de\ intersecci\acute{o}n}\\\\\red{\sf{(-1,4)}}\end{array}\end{array}$

⚠ Los resultados lo podemos comprobar en la gráfica que está en la imagen.

                                            $\boxed{\sf{{R}}\quad\raisebox{10pt}{ \sf{\red{O}} }\!\!\!\!\raisebox{-10pt}{ \sf{\red{O}} }\quad\raisebox{15pt}{ \sf{{G}} }\!\!\!\!\raisebox{-15pt}{ \sf{{G}} }\quad\raisebox{15pt}{ \sf{\red{H}} }\!\!\!\!\raisebox{-15pt}{ \sf{\red{H}} }\quad\raisebox{10pt}{ \sf{{E}} }\!\!\!\!\raisebox{-10pt}{ \sf{{E}} }\quad\sf{\red{R}}}\hspace{-64.5pt}\rule{10pt}{.2ex}\:\rule{3pt}{1ex}\rule{3pt}{1.5ex}\rule{3pt}{2ex}\rule{3pt}{1.5ex}\rule{3pt}{1ex}\:\rule{10pt}{.2ex}$