Question

3. De la siguiente matriz que agrupa a tres vectores de un espacio vectorial, calcule

7 -9 -11
3 4 -1
4 -13 -10
a) Determinante
b) Rango
c) Matriz escalonada usando Gauss Jordan
d) Justifique desde cada proceso si hay dependencia o independencia lineal.

4. Determine independencia lineal de los siguientes conjuntos de vectores.
a. V1= (0,2,2). V2= (3,3,3). V3= (0,0,4).
b. V1= (6 ,-2, 8 ). V2= (1/2, 4, 0) . V3= (-10, 6, 2). V4=(2,1,4).


5. Usando el siguiente par de vectores, compruebe porque no son base generadora de R^3
U= (1 0 2) V = (1 0 -1)

Answer 1

El determinante de una matriz es una operación realizada sobre matrices cuadradas (Matrices de orden nxn , es decir, mismo número de filas y columnas) y donde el resultado es un número real.

Existen muchos métodos para encontrar el determinante, pero en especial las matrices de orden 2x2 y 3x3 es sencillo pues existen fórmulas para el cálculo del mismo.

Notación: al determinante de una matriz A se le conoce como |A|

Sea una matriz de orden 3x3 de la siguiente manera:

entonces |A|= (a11*a22*a33)+(a12*a23*a31)+(a13*a21*a32)-(a13*a22*a31)-(a12*a21*a33)-(a11*a32*a23)

Si el determinante de A es cero significa que uno o mas de los vectores que la conforman (filas o columnas)  dependen linealmente de otro (s)

Rango de una matriz: es el número de columnas linealmente independiente (li) que tiene una matriz, si una matriz de orde nxn, tiene determinante distinto de cero su rango es n.

Notación: al rango de una matriz A se le conoce como rgo(A)

Una matriz escalonada es una matriz donde los elementos que estan por debajo de la diagonal principal son ceros.

Resolviendo el ejercicio:

a) Calculo del determinante de la matriz dada:

|A|= (7*4*-10)+(-9*-1*4)+(-11*3*-13)-(-11*4*4)-(-9*3*-10)-(7*-13*-1) = -280+36+429+176-270-91 = 0

c) Matriz escalonada usando Gaus Jordan:

$\left[\begin{array}{ccc}7&-9&-11\\3&4&-1\\4&-13&-10\end{array}\right]$

fila1= $\frac{1}{7} *f1$

$\left[\begin{array}{ccc}1&-9/7&-11/7\\3&4&-1\\4&-13&-10\end{array}\right]$

fila2= -3f1+f2 y fila 3= -4f1+f3

$\left[\begin{array}{ccc}1&-9/7&-11/7\\0&55/7&26/7\\0&-55/7&-26/7\end{array}\right]$

fila2= $\frac{7}{55} f2$

$\left[\begin{array}{ccc}1&-9/7&-11/7\\0&1&26/55\\0&-55/7&-26/7\end{array}\right]$

f3= 55/7*f2+f3

$\left[\begin{array}{ccc}1&-9/7&-11/7\\0&1&26/55\\0&0&0\end{array}\right]$

 b) Rango de la matriz:  es el numero de filas no nulas de la escalonada reducida rgo(A)= 2

d) Justifique desde cada proceso si hay dependencia o independencia Lineal

En el primer proceso no hay independencia lineal entre los vectores pues el determinante es igual a cero.

En el segundo proceso como el rango es igual a 2 y la matriz es 3x3 entonces no hay independencia lineal.

En el ultimo proceso se observa que no hay independencia lineal ya que tenemos la ultima fila con valores nulos.

 Determine independencia lineal de los siguientes conjuntos de vectores. a. V1= (0,2,2). V2= (3,3,3). V3= (0,0,4). 

Veamos la combinación lineal y si los escalares son necesariamente 0 hay independencia lineal y si no hay dependencia lineal:

a(0,2,2)+b(3,3,3)+c(0,0,4)= 0

El sistema de ecuaciones a resolver es 
a*0+3*b+c*0= 0 ⇒ 3b= 0 ⇒ b=0 (1)
2a+3b= 0 (2)
2a+3b+4c= 0

Sustituimos el valor de b en la ecuación 2

2a+3*0= 0 ⇒ 2a = 0 ⇒ a = 0

Sustituimos el valor de a y b en la ecuación 3 

2*0+3*0+4*c= 0 ⇒ 4c = 0 ⇒ c=0

Por lo tanto hay independencia lineal

b. V1= (6 ,-2, 8 ). V2= (1/2, 4, 0) . V3= (-10, 6, 2). V4=(2,1,4)

No hay independencia lineal pues en cualquier conjunto de $R^{n}$ hay máximo n vectores linealmente independientes, es decir, máximo puedo tener 3 vectores linealmente independientes en $R^{3}$ 

5. Usando el siguiente par de vectores, compruebe porque no son base generadora de R^3
U= (1 0 2) V = (1 0 -1)

 Si no es una base generadora entonces hay al menos un vector de  $R^{3}$  que no se puede escribir como combinación lineal de los vectores dados. Si tomamos el vector ( 0 1 0 ) ∈  $R^{3}$  he intetamos escribirlo como combinación lineal de los vectores tenemos:

a*(1 0 2) + b(1 0 -1)  = ( 0 1 0)
Resolviendo

a+b= 0 (1)
a*0 + b*0 = 1  (2)
2a -b = 0  (3)

Ahora de la segunda ecuacion tenemos
0+0= 1 ⇒ 0= 1 no hay solución al sistema pues no es consistente.

Por lo tanto los vectores no generan  $R^{3}$