Question

3. ¿Con cuantas rectas secantes en el espacio se determinan como máximo 45 planos?

Answer 1

Con 10 rectas secantes se pueden definir hasta 45 planos.

Explicación paso a paso:

Un plano se puede definir con dos rectas secantes. Si tomamos una cantidad de rectas tales que al tomar dos de ellas cualesquiera la intersección exista, podemos usar el número combinatorio para hallar el número de rectas necesarias para definir 45 planos:

$45=\left[\begin{array}{c}x&2\end{array}\right] =\frac{x!}{2!(x-2)!}$

Desarrollando los factoriales queda:

$45=\frac{x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)...1}{2(x-2)(x-3)(x-4)...1}=\frac{x(x-1)}{2}\\\\2.45=x(x-1)\\90=x^2-x\\\\x^2-x-90=0$

Para hallar el valor de X resolvemos la ecuación cuadrática y nos quedamos con el valor positivo:

$x=\frac{1\ñ\sqrt{1^2-4.1.(-90)}}{2.1}=\frac{1\ñ\sqrt{1+360}}{2}=\frac{1\ñ19}{2}\\\\x=10\\\\x=-9$