Question

3. Calcular el el siguiente límite al infinito y comprobar en GeoGebra que el límite existe, presentar la gráfica de donde se evidencie la existencia del limite y el paso a paso del desarrollo analítico del ejercicio.​

Answer 1

Respuesta:

Explicación:

A priori, el límite planteado es una indeterminación de tipo infinito sobre infinito, como tanto el numerador como el denominador son polinomios y el denominador es polinomio de grado 1, podemos intentar dividir ambos por x:

$\lim_{x \to \infty}\frac{\sqrt[3]{x^3-2x^2+3}}{2x+1}=\frac{\frac{1}{x}\sqrt[3]{x^3-2x^2+3}}{\frac{1}{x}(2x+1)}\\\\ \lim_{x \to \infty}\frac{\sqrt[3]{x^3-2x^2+3}}{2x+1}=\frac{\frac{1}{x}\sqrt[3]{x^3-2x^2+3}}{2+\frac{1}{x}}$

En el numerador podemos introducir a X en la raíz cúbica, el polinomio del radicando pasa a dividirse por $x^3$:

$\lim_{x \to \infty}\frac{\frac{1}{x}\sqrt[3]{x^3-2x^2+3}}{2+\frac{1}{x}}=\lim_{x \to \infty}\frac{\sqrt[3]{\frac{x^3-2x^2+3}{x^3}}}{2+\frac{1}{x}}=\lim_{x \to \infty}\frac{\sqrt[3]{\frac{x^3}{x^3}-\frac{2x^2}{x^3}+\frac{3}{x^3}}}{2+\frac{1}{x}}=\\\\=\lim_{x \to \infty}\frac{\sqrt[3]{1-\frac{2}{x}+\frac{3}{x^3}}}{2+\frac{1}{x}}$

Ahora, los términos que tienen a X en el denominador pasan a tender a cero:

$\lim_{x \to \infty}\frac{\sqrt[3]{1-\frac{2}{x}+\frac{3}{x^3}}}{2+\frac{1}{x}}=\frac{1}{2}$

Al graficar la función se puede constatar la existencia del límite al infinito al notar que la función tiene una asíntota en $y=\frac{1}{2}$