Question

3. 6 libras de café y 5 libras de azúcar costaron $88 000; y 5 libras de café y 4 libras de azúcar (a los mismos precios) costaron $72 200. Hallar el precio de una libra de café y una de azúcar.

Answer 1

El precio de una libra de café es de $9000

El precio de una libra de azúcar es de $ 6800

Establecemos las ecuaciones que modelan la situación del problema

Llamamos variable "x" al precio de una libra de café y variable "y" al precio de una libra de azúcar

Donde sabemos que:

Por una compra de 6 libras de café y de 5 libras de azúcar se pagó un importe total de $ 88000

Y por una compra de 5 libras de café y 4 libras de azúcar, a los mismos valores, se abonó un importe total de $ 72200

Estamos en condiciones de plantear un sistema de ecuaciones que satisfaga al problema

El sistema de ecuaciones:

Para establecer la primera ecuación sumamos 6 libras de café y 5 libras de azúcar y la igualamos a la cantidad que se abona por tal compra de $ 88000

$\large\boxed {\bold {6 x \ +\ 5y =88000 }}$              $\large\textsf{Ecuaci\'on 1}$

Luego hacemos el mismo procedimiento para establecer la segunda ecuación donde sumamos 5 libras de café y 4 libras de azúcar y la igualamos al monto pagado para esta compra de $ 72200

$\large\boxed {\bold {5x \ + \ 4y = 72200 }}$               $\large\textsf{Ecuaci\'on 2}$

Luego despejamos x en la segunda ecuación

En

$\large\textsf{Ecuaci\'on 2}$

$\large\boxed {\bold {5 x \ +\ 4y =72200 }}$

Despejamos x

$\boxed {\bold {5 x =72200\ -\ 4y }}$

$\boxed {\bold { \frac{\not5x}{\not5} = \frac{72200}{5} -\ \frac{4y}{5} }}$

$\large\boxed {\bold { x = 14440 -\ \frac{4y}{5} }}$             $\large\textsf{Ecuaci\'on 3}$

Resolvemos el sistema de ecuaciones

Reemplazando

$\large\textsf{Ecuaci\'on 3}$

$\large\boxed {\bold { x = 14440 -\ \frac{4y}{5} }}$

$\large\textsf {En Ecuaci\'on 1}$

$\large\boxed {\bold {6 x \ +\ 5y =88000 }}$

$\boxed {\bold {6 \ . \left(14440 -\frac{4y}{5} \right) \ +\ 5y =88000 }}$

$\boxed {\bold {86640 -\frac{24y}{5} \ +\ 5y =88000}}$

$\boxed {\bold {86640 -\frac{24y}{5} \ +\ 5y\ . \ \frac{5}{5} = 88000 }}$

$\boxed {\bold {86640 -\frac{24y}{5} \ +\ \frac{25y}{5} =88000 }}$

$\boxed {\bold {86640 +\frac{y}{5} = 88000 }}$

$\boxed {\bold {\frac{y}{5} + 86640 = 88000 }}$

$\boxed {\bold { \frac{y}{5} = 88000 -86640}}$

$\boxed {\bold { \frac{y}{5} = 1360}}$

$\boxed {\bold {\not5 \ . \ \frac{y}{\not5} = 5 \ . \ 1360}}$

$\boxed {\bold { y = 5\ . \ 1360}}$

$\large\boxed {\bold { y = 6800 }}$

Luego el precio de una libra de azúcar es de $ 6800

Hallamos el precio de una libra de café

Reemplazando el valor hallado de y en

$\large\textsf{Ecuaci\'on 3}$

$\large\boxed {\bold { x = 14440 -\ \frac{4y}{5} }}$

$\boxed {\bold { x = 14440 -\ \frac{ \ 4\ . \ 6800}{5} }}$

$\boxed {\bold { x = 14440 -\ \frac{ 27200}{5} }}$

$\boxed {\bold { x = 14440 -\ \ 5440 }}$

$\large\boxed {\bold { x = 9000 }}$

Por tanto el precio de una libra de café es de $ 9000

Verificación

Reemplazamos los valores hallados para x e y en el sistema de ecuaciones

$\large\textsf{Ecuaci\'on 1}$

$\boxed {\bold {6 x \ +\ 5y = 88000 }}$

$\bold { 6 \ lb\ cafe \ . \ \ \ 9000 \ +\ 5 \ lb \ azucar\ . \ \ \ 6800 = \ \ 88000 }$

$\bold {\ \ 54000\ + \ \ \ 34000 = \ \ 88000}$

$\boxed {\bold {\ \ 88000 = \ \ 88000 }}$

$\textsf{Se cumple la igualdad }$

$\large\textsf{Ecuaci\'on 2}$

$\boxed {\bold {5x \ + \ 4y = \ \ 72200 }}$

$\bold { 5 \ lb\ cafe \ . \ \ \ 9000 \ +\ 4 \ lb \ azucar\ . \ \ \ 6800 = \ \ 72200 }$

$\bold {\ \ 45000\ + \ \ \ 27200 = \ \ 72200}$

$\boxed {\bold {\ \ 72200 = \ \ 72200 }}$

$\textsf{Se cumple la igualdad }$