Question

3) (5 puntos) Un trozo de metal caliente se deja al descubierto en ambiente de temperatura constante. Al cabo de 3 minutos, se observa que su temperatura ha descendido a 88 °C. Un minuto más tarde, se observa que se ha enfriado 16 °C más. Si k = 0.004709 s*-1, calcule: a) la temperatura del ambiente, b) la temperatura inicial del metal, c) el tiempo (en segundos) necesario para que temperatura del metal se reduzca a la tercera parte.
​

Answer 1

La temperatura ambiente a la que está el metal es de -142 °C y el metal estaba inicialmente a una temperatura de 11,7 °C.

¿Cómo hallar la temperatura del ambiente?

Para hallar la temperatura ambiente podemos aplicar la ley de enfriamiento de Newton, que es la que va a seguir el metal caliente, donde T0 es la temperatura inicial del metal y TA  es la temperatura ambiente:

$T=T_A+(T_0-T_A).e^{-kt}$

Si al cabo de 3 minutos la temperatura cae 88 °C y un minuto más tarde cae otros 16 °C, significa que en 4 minutos la temperatura desciende 88 °C+16 °C=104 °C. Entonces podemos plantear ecuaciones para la temperatura al cabo de 3 y 4 minutos:

$T_0-88\°C=T_A+(T_0-T_A).e^{-k.180s}\\\\T_0-104\°C=T_A+(T_0-T_A).e^{-k.240s}$

De la segunda expresión podemos despejar la temperatura inicial:

$T_0-104\°C=T_A+T_0.e^{-240s.k}-T_A.e^{-240s.k}\\\\T_0-T_0.e^{-240s.k}=T_A-T_A.e^{-240s.k}+104\°C\\\\T_0=\frac{T_A-T_A.e^{-240s.k}+104\°C}{1-e^{-240s.k}}$

Y podemos reemplazarla en la otra ecuación:

$\frac{T_A-T_A.e^{-240s.k}+104\°C}{1-e^{-240s.k}}-88\°C=T_A+(\frac{T_A-T_A.e^{-240s.k}+104\°C}{1-e^{-240s.k}}-T_A).e^{-180s.k}\\\\\frac{T_A-T_A.0,323+104\°C}{1-0,323}-88\°C=T_A+(\frac{T_A-T_A.0,323+104\°C}{1-0,323}-T_A).0,428\\\\\frac{T_A}{0,677}-0,477T_A+153,619\°C-88\°C=T_A+0,632T_A-0,204T_A+\\+65,75\°C-0,428T_A\\\\T_A-65,619\°C=0.T_A+65,75\°C\\\\T_A=131K$

El resultado está en kelvins porque esta ecuación trabaja con las temperaturas absolutas. El valor correspondiente en grados Celsius es -142 °C.

¿Cómo hallar la temperatura inicial del metal?

Teniendo ya la temperatura ambiente podemos despejar de la ecuación de la temperatura al cabo de 3 minutos la temperatura inicial del metal:

$T_0-88\°C=T_A+(T_0-T_A).e^{-180s.k}\\\\T_0-88\°C=T_A+T_0.e^{-180s.k}-T_A.e^{-180s.k}\\\\T_0-88\°C+T_0.e^{-180s.k}=T_A(1-e^{-180s.k})\\\\T_0(1-e^{-180s.k})-88\°C=T_A(1-e^{-180s.k})\\\\T_0=\frac{T_A(1-e^{-180s.k})+88\°C}{(1-e^{-180s.k})}=\frac{131K(1-e^{-180s.0,004709})+88\°C}{(1-e^{-180s.0,004709})}\\\\T_0=285K=11,7\°C$

Aprende más sobre la ley de enfriamiento de Newton en https://brainly.lat/tarea/14190225

#SPJ1