Question

2x^2-(kx+k)+(3k-8)=0 sabiendo que sus raíces son recíprocas y de signos contrarios por fa, no puedo resolver la ecuación

Answer 1

Primero que significan que Sean Recíprocas que:

(X1)(X2) = 1, pero como nos dicen que tiene que ser con signo contrario entonces

(X1)(X2) = -1.

Partiendo de esto tenemos que: Donde K = Constante (numero)

2X² - (KX + K) + (3K - 8) = 0

2X² - KX - K + 3K - 8 = 0

2X² - KX + 2K - 8 = 0

2X² - KX + (2K - 8) = 0

Donde: a = 2; b = -K; c = (2K - 8)

$X=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$X=\frac{-(-K)\pm \sqrt{(-K)^2-4(2)(2K - 8)}}{2(2)}$

$X=\frac{K\pm \sqrt{K^2-8(2K - 8)}}{4}$

$X=\frac{K\pm \sqrt{K^2-16K+64}}{4}$

(K² - 16K + 64) = (K - 8)²

$X=\frac{K\pm \sqrt{(K-8)^{2}}}{4}$

$X=\frac{K\pm \ {(K-8)}}{4}$

X1 = [K + (K - 8)]/4

X1 = [2K - 8]/4

X1 = 2[K - 4]/4

X1 = (K - 4)/2

X2 = [K - (K - 8)]/4

X2 = [K - K + 8]/4

X2 = 8/4

X2 = 2

Recordemos que deben ser recíprocas y con signo contrario:

(X1)(X2) = -1

X1 = (K - 4)/2

X2 = 2

[(K - 4)/2]*[2] = -1

(K - 4) = -1

K = -1 + 4 

K = 3

Reemplazamos: K = 3

2X² - (3X + 3) + (3(3) - 8) = 0

2X² - 3X - 3 + (9 - 8) = 0

2X² - 3X - 3 + 1 = 0

2X² - 3X - 2 = 0

Donde: a = 2; b = -3; c = -2

 $X=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$X=\frac{-(-3)\pm \sqrt{(-3)^2-4(2)(-2)}}{2(2)}$

$X=\frac{3\pm \sqrt{9+16}}{4}$

$X=\frac{3\pm \sqrt{25}}{4}$

$X=\frac{3\pm \ 5}{4}$

X1 = [3 + 5]/4 = 8/4 = 2

X1 = 2

X2 = [3 - 5]/4 = -2/4 = -1/2

X2 = -1/2

Como vemos

(X1)(X2) = -1

(2)(-1/2) = -2/2 = -1

Lss raices si cumplen con la condicion.

Rta: K = 3