Question

2raizde 2x-1=raiz de 6x-5+raiz de 2x-9 porva este esle ultimo gracias

Answer 1

$2 \sqrt{2x-1}= \sqrt{6x-5} + \sqrt{2x-9}$

1° elevar todo al cuadrado
2° reducir términos semejantes
3° nuevamente al cuadrado
4° nueva reducción
5° resolver ecuación resultante

$4(2x - 1) = (6x - 5) + 2( \sqrt{6x-5)}( \sqrt{2x-9)} +(2x-9) \\ \\ 8x-4=6x-5 +2x-9+2( \sqrt{6x-5})( \sqrt{2x-9} ) \\ \\ 10=2 \sqrt{6x-5})( \sqrt{2x-9}) \\ \\ 5= \sqrt{(6x-5)(2x-9)} \\ \\ 25=12x^2-64x+45 \\ \\ 12x2-64x+20=0$

Factorizando
4(x - 5)(3x - 1) = 0
        x - 5 = 0
          x = 5
                            x1 = 5     
      3x - 1 = 0
         3x = 1
                            x2 = 1/3  
                                                 
Condición de existencia de las raices
      2x - 1 > 0
         2x > 1                   x > 1/2
      6x - 5 > 0
          6x > 5                  x > 5/6
      2x - 9 > 0
          2x > 9                  x > 9/2
                                                                   ____|_______|________|________
                                                                         1/2        5/6           9/2

                                                                x > 9/2
                                                                 x > 4,5
Bajo esta condición, x2 = 1/3 NO ES RAIZ
                                                                           S = {5}

Answer 2

• 1) Analizamos que valores que puede tomar x

 $2x-1 > 0 \to 2x> 1\to x> \frac{1}{2} \\ \\ 6x-5>0\to 6x>5\to x > \frac{5}{6} \\ \\ 2x-9>0\to 2x>9 \to x> \frac{2}{9} \\ \\ entonces\quad x> \frac{5}{6}$

• 2)  Elevamos los dos Miembros al cuadrado
$2 \sqrt{2x-1} = \sqrt{6x-5} + \sqrt{2x-9} \\ \\ (2 \sqrt{2x-1})^2 = ( \sqrt{6x-5} + \sqrt{2x-9})^2 \\ \\ (2)^2( \sqrt{2x-1})^2 = ( \sqrt{6x-5} + \sqrt{2x-9})^2 \to distribuimos \ la \ potencia$

$(2)^2( \sqrt{2x-1})^2 = ( \sqrt{6x-5} + \sqrt{2x-9})^2 \\ \\ 4( 2x-1)= ( \sqrt{6x-5})^2+2( \sqrt{6x-5})(\sqrt{2x-9}) + (\sqrt{2x-9})^2 \\ \\ 4( 2x-1)= ( \sqrt{6x-5})^2+2( \sqrt{(6x-5)(2x-9)} + (\sqrt{2x-9})^2 \\ \\ 4( 2x-1)= (6x-5)+2( \sqrt{(6x-5)(2x-9)} + (2x-9) \\ \\ 8x-4= (8x-14)+2( \sqrt{(6x-5)(2x-9)} \\ \\8x-4-8x+14=2( \sqrt{(6x-5)(2x-9)} \\ \\ \frac{10}{2}= ( \sqrt{(6x-5)(2x-9)}) \to pasamos \ la \ ra\'iz$
$5^2=(6x-5)(2x-9) \\ \\ 25= 12x^2-54x-10x+45 \to igualamos \ a \ cero \\ \\ 0= 12x^2-54x-10x+45-25 \\ \\ 0= 12x^2-64x+20$

• 3) Resolvemos por medio de Bascara

$0= 12x^2-64x+20 \\ \\ x_{(1\ y \ 2)}= \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \qquad a= 12\qquad b= -64 \qquad c= 20 \\ \\ x_{(1\ y \ 2)}= \frac{64\pm \sqrt{4096-(4*12*20)}}{2(12)} \\ \\ x_{(1\ y \ 2)}= \frac{64\pm \sqrt{4096-(960)}}{(24)} \\ \\ x_{(1\ y \ 2)}= \frac{64\pm \sqrt{3136}}{(24)} \\ \\ x_{(1\ y \ 2)}= \frac{64\pm 56}{(24)} \\ \\ x_{1}= \frac{64+ 56}{(24)}\to x_{1}= \frac{120}{(24)}\to \boxed{x_1= 5} \\ \\ x_{2}= \frac{64- 56}{24}\to x_{2}= \frac{8}{(24)}\to\boxed{x_2=\frac{1}{3}}$

• 4) Analizamos los resultados con la restricción que encontramos en el primer punto.

Decimos que
$x> \frac{5}{6} \\ \\ x_1= 5 \ es \ v\'alida \checkmark \\ \\ x_2= \frac{1}{3} \quad No \ es \ v\'alida \ porque \frac{1}{3}< \frac{5}{6} \\ \\ Conclusi\'on \to \boxed{x= 5}$

• 5) Verificamos

$2 \sqrt{2x-1} = \sqrt{6x-5} + \sqrt{2x-9} \to x=5 \\ \\ 2 \sqrt{2*5-1} = \sqrt{6*5-5} + \sqrt{2*5-9} \\ \\ 2 \sqrt{9}= \sqrt{25} + \sqrt{1} \\ \\ 2*3 = 5+1 \\ \\ 6= 6 \quad \checkmark$

Espero que te sirva, salu2!!!!