Question

2ix - 18y = -6
5ix - 15i^2y = 25

Determine por el metodo de Eliminacion y
Gauss sordis​

Answer 1

La solución del Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. con coeficientes de números complejos, utilizando el Método de Eliminación de Gauss Jordan es:

$x=-3i,y=\frac{2}{3}$

$(x,y)=(-3i,\frac{2}{3})$

Sabemos que $i^{2}=-1$. entonces podemos sustituir en la segunda ecuación $i^{2}$ por $-1$:

$5ix-15(-1)y=25$

Eliminando el paréntesis, multiplicando los signos, la segunda ecuación nos queda:

$5ix+15y=25$

Por lo tanto, el sistema de ecuaciones a resolver es equivalente a:

$2ix-18y=-6$

$5ix+15y=25$

Escribimos ahora la matriz de los coeficientes:

$\left[\begin{array}{ccc}2i&-18&-6\\&&\\5i&15&25\end{array}\right]$

Debemos ahora llevar esta matriz a su forma escalonada reducida:

1) Convertimos el primer elemento de la primera fila $2i$ (en la primera columna) en 1, para ello, multiplicamos todos los elementos de la primera fila por $-\frac{i}{2}$:

$-\frac{i}{2}(2i)=-i^{2}=-(-1)=1$

$-\frac{i}{2}(-18)=9i$

$-\frac{i}{2}(-6)=3i$

Y la matriz nos queda así:

$\left[\begin{array}{ccc}1&9i&3i\\&&\\5i&15&25\end{array}\right]$

2) Ahora debemos eliminar todos los elementos debajo del 1, en este caso el $5i$, entonces multiplicamos todos los elementos de la primera fila por $-5i$, y se los sumamos a los elementos de la segunda fila, y el resultado lo colocamos en la segunda fila:

$-5i(1)+5i=-5i+5i=0$

$-5i(9i)+15=-45i^{2}+15=-45(-1)+15=45+15=60$

$-5i(3i)+25=-15i^{2}+25=-15(-1)+25=15+25=40$

Por lo tanto, la matriz nos queda asi:

$\left[\begin{array}{ccc}1&9i&3i\\&&\\0&60&40\end{array}\right]$

3) Ahora covertimos el primer elemento de la segunda fila 60 (en la segunda columna en 1. Para ello dividimos todos los elementos de la segunda fila entre 60:

$\frac{0}{60}=0$

$\frac{60}{60}=1$

$\frac{40}{60}=\frac{4}{6}=\frac{4/2}{6/2}=\frac{2}{3}$

Quedando la matriz de la siguiente forma:

$\left[\begin{array}{ccc}1&9i&3i\\&&\\0&1&\frac{2}{3} \end{array}\right]$

Esta es la matriz en su forma escalonada.

4) Finalmente para llevar la matriz a su forma escalonada reducida, debemos convertir el elemento por encima del 1 de la segunda fila en cero.  Para ello vamos a multiplicar todos los elementos de la segunda fila por $-9i$, y se los sumamos a los elementos de la primera fila, y el resultado lo colocamos en la primera fila:

$-9i(0)+1=0+1=1$

$-9i(1)+9i=-9i+9i=0$

$-9i(\frac{2}{3})+3i=-6i+3i=-3i$

Y la matriz nos queda:

$\left[\begin{array}{ccc}1&0&-3i\\&&\\0&1&\frac{2}{3} \end{array}\right]$

Por lo tanto, la solución del sistema de ecuaciones es:

$x=-3i$

$y=\frac{2}{3}$

En forma de par ordenado:

$(x,y)=(-3i,\frac{2}{3})$