Question

2©La sombra de cierto poste es de 24 metros de largo, al mismo tiempo otro poste de 3 metros de altura proyecta una sombra de 4 metros ¿Qué altura tiene el primer poste, si la altura y las sombras y están en proporción?​

Answer 1

La altura del primer poste es de 18 metros

Para la resolución de este ejercicio se empleará el teorema de Tales

Existen dos teoremas relacionados con la geometría clásica que reciben el nombre de teorema de Tales

Uno de ellos explica básicamente una forma de construir un triángulo semejante a partir de uno previamente existente

Dos triángulos semejantes tienen ángulos congruentes, por lo tanto sus lados respectivos son proporcionales

El teorema de Tales enuncia

Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los lados del triangulo, se obtiene otro triángulo AB'C', cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC.

Como se observa en la figura que se adjunta se forman dos triángulos que son semejantes y por tanto proporcionales

Para el triángulo semejante ABC

Observando la figura que se adjunta vemos que conocemos la longitud de la sombra arrojada por el primer poste -lado AC- y donde nuestra incógnita x es la altura del poste -lado BC-

Conocemos

$\bold{\overline{AC } = 24 \ m }$

$\bold{\overline{BC } = x \ m }$

Luego para el triángulo semejante AB'C'

Vemos que sabemos la longitud de la sombra proyectada por el segundo poste -lado A'C'- y también la altura del mismo -lado B'C'

Luego

$\bold{\overline{A'C' } = 4 \ m }$

$\bold{\overline{B'C' } = 3\ m }$

Con estos valores

Hallamos la altura del primer poste

Por el teorema de Tales

Expresamos

$\boxed{ \bold { \frac{\overline{BC} }{\overline{AC} } = \frac{\overline{B'C'} }{\overline{A'C'} }}}$

$\boxed{ \bold { \frac{x }{\overline{AC} } = \frac{\overline{B'C'} }{\overline{A'C'} }}}$

$\boxed{ \bold { x= \frac{\overline{AC}\ . \ \overline{B'C'} }{\overline{A'C'} } }}$

Reemplazamos valores

$\boxed{ \bold { \frac{x }{24 \ m } = \frac{3 \ m }{ 4 \ m } }}$

Resolvemos en cruz

$\boxed{ \bold { x = \frac{24\not m \ . \ 3\ m }{4\ \not m } }}$

$\boxed{ \bold { x = \frac{72 }{4} \ m }}$

$\large\boxed{ \bold { x= 18 \ metros }}$

La altura del primer poste es de 18 metros

Se adjunta gráfico a escala