240x + 1400 P(x) = 14(x + 1) Representa el porcentaje del petróleo que permanece en el mar, después de ocurrir un derrame en un buque cisterna transportador de este hidrocarburo y de efectuarse durante 4 meses las tareas de recuperación y limpieza por parte de la empresa responsable, transcurrido ese tiempo el proceso continúa de manera natural. a) ¿Qué tipo de función es P(x) y qué representa de acuerdo al problema? b) ¿Qué porcentaje de residuo de petróleo queda al concluir el cuarto mes de limpieza? c) ¿Al cabo de un año podrá disminuir al 100% los contaminantes?
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
Explicación paso a paso:
Al final del cuarto mes de limpieza queda un 33,7% de los residuos, a los 10 meses esta cantidad queda en un 24,7% con lo cual no alcanza 10 meses para reducir la cantidad de contaminante al 20%, y el máximo porcentaje de limpieza es del 82,86%.
Explicación paso a paso:
Si suponemos que el tiempo 'x' son los meses que lleva la tarea de limpieza tenemos en cada inciso:
a) Al concluir el cuarto mes de limpieza, el porcentaje de residuos es:
\begin{gathered}p(x)=\frac{240x+1400}{14(x+1)}\\\\p(4)=\frac{240.4+1400}{14(4+1)}\\\\p(4)=33,7\end{gathered}
p(x)=
14(x+1)
240x+1400
p(4)=
14(4+1)
240.4+1400
p(4)=33,7
b) Con la misma función, al cabo de 10 meses tenemos:
\begin{gathered}p(10)=\frac{240.10+1400}{14(10+1)}\\\\p(10)=24,7\end{gathered}
p(10)=
14(10+1)
240.10+1400
p(10)=24,7
c) Podemos derivar la función e igualar la derivada a cero para hallar el mínimo de la función que representa la mínima cantidad de residuos:
\begin{gathered}p(x)=\frac{240.x+1400}{14x+14}\\\\p'(x)=\frac{240(14x+14)-(240x+1400)14}{(14x+14)^2}\\\\240(14x+14)-(240x+1400)14=0\\\\3360x+3360-3360x-19600=0\\\\-16240=0\end{gathered}
p(x)=
14x+14
240.x+1400
p
′
(x)=
(14x+14)
2
240(14x+14)−(240x+1400)14
240(14x+14)−(240x+1400)14=0
3360x+3360−3360x−19600=0
−16240=0
La función no tiene un extremo, las funcione consistentes en la división de 2 polinomios de igual orden se caracterizan por tener una asíntota horizontal que la hallamos con el límite cuando x tiende a infinito:
\lim_{x \to \infty} \frac{240x+1400}{14x+14}= \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{240x+1400}{x}}{\frac{14x+14}{x}}=\lim_{x \to \infty} \frac{240+\frac{1400}{x}}{14+\frac{14}{x}}=17,14lim
x→∞
14x+14
240x+1400
=lim
x→∞
x
14x+14
x
240x+1400
=lim
x→∞
14+
x
14
240+
x
1400
=17,14
Como esta función expresa la cantidad de residuos remanentes en el mar, el porcentaje de limpieza cuando pasó mucho tiempo es:
pl=100-17,14=82,86