20 ejemplos de division de polinomios
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
Explicación paso a paso:
Explicación paso a paso:
Consideremos estos dos polinomios, uno como dividendo D(x), y otro como divisor d(x):
División de polinomios
División exacta de polinomios
En una división exacta de polinomios, el resto es igual a cero.
Dividir el polinomio D(x) entre el polinomio d(x) es hallar otro polinomio cociente c(x) tal que multiplicado por el divisor dé el dividendo:
División de polinomios
División exacta de polinomios
En esta caso se dice que la división es exacta y se dice que dividendo D(x) es múltiplo del divisor d(x) y del cociente c(x). También se dice que d(x) y c(x) son divisiores del polinomio D(x).
División entera de polinomios
Consideremos estos dos polinomios, uno como dividendo D(x), y otro como divisor d(x):
División de polinomios
División entera de polinomios
En una división entera de polinomios, el resto es distinto de cero.
En las divisiones enteras (o inexactas), el dividendo D(x) no es múltiplo del divisor d(x), y siempre se va a cumplir la propiedad fundamental de la división:
División de polinomios
Propiedad fundamental de la división
El grado del polinomio resto R(x) es siempre menor que el grado del polinomio divisor d(x).
División de polinomios
Grado del resto
División de un polinomio por un monomio
Para dividir un polinomio por un monomio, se divide cada monomio del polinomio por el monomio, hasta que el grado del dividendo sea menor que el grado del divisor.
Para comprobar que la división está bien hecha, miramos si se cumple la propiedad fundamental de la división:
División de polinomios
Propiedad fundamental de la división
Ejemplo:
D(x)=2x2+x–2 d(x)=x
División de polinomios
Comprobamos ahora que se verifica la propiedad fundamental de la división:
D(x)=d(x)⋅c(x)+R(x D(x)=2x2+x–2 d(x)⋅c(x)+R(x)=x⋅(2x+1)–2=(2x2+x)–2=2x2+x–2
El grado del cociente es igual al grado del dividendo menos el grado del divisor:
División de polinomios
Grado del cociente
En nuestro ejemplo:
D(x) = 2x² + x – 2 ⇒ Grado de D(x) = 2
d(x) = x ⇒ Grado de d(x) = 1
c(x) = 2x + 1 ⇒ Grado de c(x) = 2 – 1 = 1
División de un polinomio por otro polinomio
Consideremos estos dos polinomios:
D(x)=x4–2x3–11x2+30x–20⇒Dividendo d(x)=x2+3x–2⇒Divisor
Para realizar la división de D(x) entre d(x) se procede del modo siguiente:
1. Se colocan los polinomios igual que en la división de números y ordenados de forma creciente.
División de polinomios
2. Se divide el primer monomio del dividendo por el primer monomio del divisor. El resultado se pone en el cociente.
División de polinomios
3. Se multiplica el cociente por el divisor y el producto obtenido se resta del dividendo:
(x2+3x–2)⋅x2=x4+3x3–2x2
Como hay que restar x4+3x3+2x2 del dividendo, le sumamos el opuesto:
–(x4+3x3–2x2)=–x4–3x3+2x2
División de polinomios
4. Se baja el término siguiento, 30x , y se divide, como en el apartado 2, el primer monomio del dividendo (-5x³) por el primer monomio del divisor (x²)
−5x3÷x2=−5x
y se coloca -5x en el cociente
División de polinomios
5. Se multiplica -5x por el divisor (x² + 3x – 2) y el producto obtenido se resta del dividendo:
(x2+3x–2)⋅(−5x)=−5x3–15x2+10x
Como hay que restar -5x³ – 15x² + 10x del dividendo, le sumamos el opuesto:
–(−5x3–15x2+10x)=5x3+15x2–10x
División de polinomios
6. Se baja el último término, -20, y se divide, como los apartados 2 y 4, el primer monomio del dividendo (6x²) por el primer monomio del divisor (x²)
6x² ÷ x² = 6, y se coloca 6 en el cociente
División de polinomios
7. Se multiplica 6 por el divisor y el producto obtenido se resta del dividendo:
(x2+3x–2)⋅6=6x2+18x–12
Como hay que restar este polinomio del dividendo, le sumamos el opuesto:
−(6x2+18x–12)=–6x2–18x+12
División de polinomios
Como 2x no se puede dividir por x², la división se ha terminado.
Entonces obtenemos que el polinomio cociente es:
c(x)=x2–5x+6
y el polinomio resto es:
R(x)=2x–8
Comprobamos que:
Grado c(x) = grado D(x) – grado d(x)
Grado c(x) = 4 – 2 =2
y que:
D(x)=d(x)⋅c(x)+R(x) D(x)=(x2+3x–2)⋅(x2–5x+6)+(2x–8)=x4–2x3–11x2+30x–20