20. Cuál será el centro y radio de una circunferencia que pasa por los puntos (4,8), (9,3) y (7,-1).
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
El centro de la circunferencia es (4 , 3) y el radio es 5
Explicación paso a paso:
Datos.
Puntos por donde pasa la circunferencia.
(4 , 8)
(9 , 3)
(7 , - 1)
Ecuación general de la circunferencia.
x² + y² + Ax + Bx + C = 0
Los puntos dados satisfacen la ecuación de la circunferencia
(4 , 8)
(x , y)
4² + 8² + 4A + 8B + C = 0
16 + 64 + 4A + 8B + C = 0
80 + 4A + 8B + C = 0
4A + 8B + C + 80 = 0 (1)
(9 , 3)
9² + 3² + 9A + 3B + C = 0
81 + 9 + 9A + 3B + C = 0
90 + 9A + 3B + C = 0
9A + 3B + C + 90 = 0 (2)
(7 , - 1)
(7)² + ( - 1)² + 7A - B + C = 0
49 + 1 + 7A - B + C = 0
7A - B + C + 50 = 0 (3)
Tenemos un sistema de ecuaciones 3 x 3
4A + 8B + C + 80 = 0 (1)
9A + 3B + C + 90 = 0 (2)
7A - B + C + 50 = 0 (3)
Por método de reducción.
Multiplicamos (1) por ( - 1)
(4A + 8B + C + 80 = 0)(- 1)
- 4A - 8B - C - 80 = 0 Le sumamos 2
9A + 3B + C + 90 = 0
----------------------------------
5A - 5B + 10 = 0 (4)
Multiplicamos (1) Por ( - 1)
(4A + 8B + C + 80 = 0)(- 1)
- 4B - 8B - C - 80 = 0 Le sumamos (3)
7A - B + C + 50 = 0
--------------------------------
3A - 9B - 30 = 0 (5)
Ahora nos queda un sistema de ecuaciones 2 x 2
5A - 5B + 10 = 0 (4)
3A - 9B - 30 = 0 (5)
Multiplicamos (4) por - 3
(5A - 5B + 10 = 0)( - 3)
- 15A + 15B - 30 = 0 (6)
Multiplicamos (5) por 5
(3A - 9B - 30 = 0 ) (5)
15A - 45B - 150 = 0 (7)
Sumamos (6) y (7)
- 15A + 15B - 30 = 0
15A - 45B - 150 = 0
--------------------------------
- 30B - 180 = 0
- 30B = 180
B = 180/- 30
B = - 6 Reemplazamos este valor en (4)
5A - 5B + 10 = 0 (4)
5A - 5( - 6) + 10 = 0
5A + 30 + 10 = 0
5A + 40 = 0
5A = - 40
A = - 40/5
A = - 8
Hallamos el valor de C en la ecuación (1)
4A + 8B + C + 80 = 0
4(- 8) + 8( - 6) + C + 80 = 0
- 32 - 48 + C + 80 = 0
- 80 + C + 80 = 0
C = 0
Tenemos la ecuación:
x² + y² + Ax + Bx + C = 0 Reemplazamos los valores de A , B
y C
x² + y² + ( - 8)x + ( - 6)y = 0
x² + y² - 8x - 6y = 0
Llevamos la ecuación a la forma.
(x - h)² + (y - k)² = R²
Centro (h , k)
Radio = R
x² - 8x + y² - 6y = 4 Completamos trinomio al cuadrado perfecto
[(x² - 8x + (4)²] + [y² - 6x + (3)²] = 4² + 3²
(x - 4)² + (y - 3)² = 16 + 9
(x - 4)² + (y - 3)² = 25
Centro de la circunferencia (h , k) = (4 , 3)
R² = 25
R =√25
R = 5