Question

2. Un péndulo simple está constituido por una masa puntual de 0,5 kg que cuelga de un hilo de 1 m de longitud. Oscila con una amplitud de 8 grados en un lugar con gravedad igual a 9,8 m/s². Determina:

Su energía potencial máxima.
su velocidad máxima.

Answer 1

El péndulo simple que se mueve oscilando 8° tiene una energía potencial máxima de 0.0475 joules y su máxima velocidad es de 0.44 m/s.

Datos:

m = 0.5 kg

L = 1m

θ = 8°

g = 9.8 m/s^2

a) La máxima energía potencial se determina con:

Ep = m*g*h

donde h es la máxima elevación de la masa sobre el suelo.

Asumiendo que en el punto más bajo h=0, entonces en el punto más alto:

h = L -L *cosθ

h = 1 - 1 cos(8)

h = 0.0097 m

Sustituyendo:

Ep = 0.5*9.8*0.0097

Ep = 0.0475 J

b) Máxima velocidad:

La energía mecánica se mantiene constante en todo el movimiento del péndulo:

E = Ep+Ec

En el punto de máxima energía potencial la energía cinética es cero porque  no hay velocidad. En el punto de equilibrio la velocidad es máxima y no hay energía potencial:

Ec = 0.0475 J

(1/2)*m*v^2 = 0.0475

(1/2) * 0.5 * v^2 = 0.0475  

v = 0.44 m/s

Answer 2

Respuesta:

1. Dos partículas de masas m y m’ (m’ > m) están animadas de m.a.s. de igual amplitud, unidas a resortes de la misma constante k;

a)¿qué partícula tiene mayor energía mecánica?

b)¿Cuál de las dos partículas tiene mayor energía cinética al pasar por la posición de equilibrio?

c)¿Cuál de las dos pasas por la posición de equilibrio a mayor velocidad?

Explicación:

a) La expresión de la energía mecánica de un cuerpo con m.a.s. es

$E_{m}$ $=$ $\frac{1}{2}$ $k$ $a^{2}$

Por tanto, la energía mecánica no depende de la masa del cuerpo, sólo depende de la constante

recuperadora k y de la amplitud A, magnitudes que, según el enunciado no cambian.

b) Cuando una partícula con m.a.s. pasa por la posición de equilibrio su energía cinética es máxima

pues en este punto la velocidad de la partícula es máxima. En este punto la partícula no tiene

energía potencial elástica y, por tanto,

$E_{m} =E_{c}$

La respuesta es que las dos partículas tienen la misma energía cinética al pasar por la posición del equilibrio, pues la energía mecánica no depende de la masa de la partícula que vibra tal como se

ha explicado en el apartado a).

c) La velocidad de la partícula en la posición de equilibrio es máxima, su expresión es:

$v_{max} = + A w$

Donde ω es la pulsación del movimiento, que se puede calcular a partir de la siguiente expresión:

$w=\sqrt{\frac{k}{m} }$

Donde m es la masa de la partícula vibrante y k es la constante recuperadora del muelle. Por tanto,

$v_{max} =+ A\sqrt{\frac{k}{m} }$

Si se cambia la masa por m’ la expresión será:

$v'_{max} =+A\sqrt{\frac{k}{m'} }$

Como m’ > m, ′ < , pues la masa aparece en el denominador. Es decir, la partícula de menor masa pasará más rápida por la posición de equilibrio.

Este resultado es congruente con el obtenido en el apartado b). Las energías cinéticas de las dos partículas son iguales a pesar de que la de menor masa pase a mayor velocidad. Los valores de energía cinética se igualan al compensarse el aumento de la masa de la partícula con la disminución de la velocidad de la misma.

Ampliación del problema

También varía, al aumentar la masa, la pulsación ω, y, por tanto, la frecuencia.

$E_{m} =\frac{1}{2} k A^{2} =\frac{1}{2} m w^{2} A^{2}$

en esta expresión podemos ver que si la masa aumenta la pulsación disminuye para mantener así constante la energía mecánica. También, si la pulsación disminuye, la frecuencia disminuye ya que,

$W = 2\pi f$