Question

2. Un avión que vuela a 400 m de altura, a 900 km/h, debe destruir un polvorín. Calcular:
a. El tiempo de vuelo
b. El vector posición a los 4 s.
c. El vector velocidad a los 4 s.
d. ¿A qué distancia horizontal del polvorín debe dejar caer la bomba para destruirlo?

Answer 1

a) El tiempo de vuelo de la bomba es de 9.035 segundos

b) Vector de posición para 4 segundos

$\large\boxed {\bold { \overrightarrow {d} =1000 \ \overrightarrow {i} + 321.60 \overrightarrow {j} \ m }}$

c) Vector de velocidad para 4 segundos

$\large\boxed {\bold { \overrightarrow {V} =250 \ \overrightarrow {i} -39.20 \overrightarrow {j} \ m/s }}$

d) El alcance horizontal  $\bold { x_{MAX} }$ es de 2258.75 metros, siendo esta magnitud la distancia a la que debe caer la bomba para destruir el polvorín

Se trata de un problema de tiro horizontal

El tiro horizontal consiste en lanzar un cuerpo horizontalmente desde cierta altura.

Teniendo una composición de movimientos en dos dimensiones: uno horizontal sin aceleración, y el otro vertical con aceleración constante hacia abajo, que es la gravedad

Se trata de un movimiento rectilíneo uniforme (MRU) en su trayectoria horizontal o eje horizontal y un movimiento uniformemente variado (MRUV) en su trayectoria vertical o en el eje vertical

Al inicio del movimiento el proyectil solo posee una velocidad horizontal $\bold { V_{x} }$ debido a que carece de ángulo de inclinación, por lo tanto no presenta velocidad vertical inicial o sea que $(\bold { V_{y} = 0 ) }$, luego esa velocidad se va incrementando a medida que el proyectil desciende.

SOLUCIÓN

Convertimos los kilómetros por hora a metros por segundo

Dado que 1 kilómetro equivale a 1000 metros y n una hora se tienen 3600 segundos

$\boxed {\bold { V = 900 \ \frac{\not km}{\not h} \ . \left(\frac{1000 \ m }{1 \ \not km}\right) \ . \left(\frac{1 \ \not h }{3600 \ s}\right) = \frac{900000}{3600} \ \frac{m}{s} = 250 \ \frac{m}{s} }}$

a) Calculamos el tiempo de vuelo de la bomba

$\large\textsf{Tomamos un valor de gravedad } \ \ \ \bold {g= 9,8 \ m/ s^{2} }$

Considerando la altura H desde donde ha sido lanzada

$\large\boxed {\bold { y =H + \frac{1}{2} \ . \ g \ . \ t^{2} }}$

Donde despejamos el tiempo

$\boxed {\bold { -400\ m =\left(\frac{-9,8 m/s^{2} }{2}\right) \ .\ t^{2} }}$

$\boxed {\bold { 2 \ . \ -400 \ m =-9,8 ' m /s^{2} \ .\ t^{2} }}$

$\boxed {\bold { -800\ m =-9,8 \ m/s^{2} \ .\ t^{2} }}$

$\boxed {\bold { t^{2} = \frac{-800 \ m}{-9,8 \ m/s^{2} } }}$

$\boxed {\bold { t = \sqrt{\frac{-800\ \not m }{-9,8 \ \not m/s^{2} } }}}$

$\boxed {\bold { t = \sqrt{81.632653061224 \ s^{2} } } }$

$\large\boxed {\bold { t =9.035 \ segundos } }$

El tiempo de vuelo de la bomba es de 9.035 segundos

b) Vector posición a los 4 segundos

Establecemos ecuaciones de posición

Posición

Para el eje x - Eje horizontal

$\boxed {\bold { x =x_{0} +V_{x} \ . \ t }}$

$\boxed {\bold { x =0 +V_{x} \ . \ t }}$

$\boxed {\bold { x = +\ V_{x} \ . \ t }}$

$\boxed {\bold { x = 250 \ m/s \ . \ 4 \ s }}$

$\large\boxed {\bold { x = 1000\ metros}}$

Posición

Para el eje y - Eje vertical

$\boxed {\bold { y =H + \frac{1}{2} \ . \ g \ . \ t^{2} }}$

$\boxed {\bold { y = 400 \ m + \frac{1}{2} \ . \ (-9,8 \ m/s^{2} ) \ . \ (4 \ s)^{2} }}$

$\boxed {\bold { y =400 \ m -4,9 \ m/s^{2} \ . \ 16 \ s^{2} }}$

$\boxed {\bold { y = 400 \ m - 78.4 \ m }}$

$\large\boxed {\bold { y = 321.60 \ metros }}$

Resultando en

$\large\boxed {\bold { \overrightarrow {d} =1000 \ \overrightarrow {i} + 321.60 \overrightarrow {j} \ m }}$

c) Vector velocidad a los 4 segundos

Para el eje x - Eje horizontal

Dado que en el eje X se tiene un MRU, la velocidad permanece constante en toda la trayectoria. Tomamos el valor de la velocidad inicial

$\boxed {\bold { {V_x} =V_{0x} }}$

$\boxed {\bold { {V_x} =250 \ m/s }}$

Para el eje y - Eje vertical

Dado que en el eje Y se tiene un MRUV, la velocidad depende de la gravedad y el tiempo

$\boxed {\bold { V_{y} =g\ . \ t }}$

$\boxed {\bold { V_{y} =-9.8 /s^{2} \ . \ 4 \ s }}$

$\boxed {\bold { V_{y} =-39.20 \ m/s }}$

Resultando en

$\large\boxed {\bold { \overrightarrow {V} =250 \ \overrightarrow {i} -39.20 \overrightarrow {j} \ m/s }}$

d) Hallamos el alcance horizontal

$\large\boxed {\bold { d =V_{0x} \ . \ t }}$

$\boxed {\bold { d =V_{x} \ . \ t }}$

$\boxed {\bold { d = 250 \ m/ s \ . \ 9.035\ s }}$

$\large\boxed {\bold { d = 2258.75 \ metros}}$

El alcance horizontal  $\bold { x_{MAX} }$ es de 2258.75 metros, siendo esta magnitud la distancia a la que debe caer la bomba para destruir el polvorín

Se adjunta gráfico