Question

2) Se sabe que el 90% de las personas que compran computadoras, no hacen reclamaciones duran-te el período de garantía en las distribuidoras de equipos de computadores que existen en Nica-ragua. Suponga que 22 personas compran computadoras cada una de un determinado almacén. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 2 de los 20 clientes hagan reclamaciones durante un periodo de garantía? ¿Cuántos clientes se espera que reclamen durante un periodo de garantía, determine su varianza y desviación estándar?

Answer 1

Hay una probabilidad de  0.6076  de que al menos  2  clientes realicen reclamos en el período de garantía.

Explicación:

Vamos a considerar que cada cliente es independiente del resto y que vamos a realizar el experimento de conocer si el cliente realiza un reclamo en el período de garantía o no. Esto se conoce como experimento aleatorio dicotómico (dos resultados) y se estudia por medio de la distribución binomial.

Un experimento aleatorio que consiste de  n  ensayos repetidos tales que:

1. Los ensayos son independientes,

2. Cada ensayo tiene solo dos resultados posibles, denominados “éxito” y “fracaso”, y

3. La probabilidad de éxito en cada ensayo, denotada por  p,  permanece constante recibe el nombre de experimento binomial.

La variable aleatoria    X    que es igual al número de ensayos donde el resultado es un éxito, tiene una distribución binomial con parámetros    p    y    n  =  1,  2,  3, ...

La Probabilidad de    X  =  x    es

$\bold{P(X~=~x)~=~(\begin{array}{c}n\\x\end{array})~p^x~(1~-~p)^{(n~-~x)}}$

donde    $(\begin{array}{c}n\\x\end{array})$    es el número combinatorio:

$\bold{(\begin{array}{c}n\\x\end{array})~=~\dfrac{n!}{(n~-~x)!~x!}}$

La Esperanza o valor esperado de  X  =  E(X)  =  µ  =  n p

La Varianza de  X  =  V(X)  =  σ²  =  n p (1  -  p)

La Desviación Estándar de  X  =  $\bold{\sigma~=~\sqrt{V(X)}}$

En el caso que nos ocupa definimos la variable aleatoria binomial

X  =  Número de reclamos en el periodo de garantía en la muestra

p = 0,1 (10%)

n = 20

¿Cuál es la probabilidad de que al menos 2 de los 20 clientes hagan reclamaciones durante un periodo de garantía?

Se desea hallar la probabilidad de que  x  sea mayor o igual que 2; es decir, entre 2 y 20. Por facilidad de cálculo, este tipo de situaciones se plantea en términos del evento complemento; es decir, la probabilidad que  x  no sea igual a  0 o 1:

$\bold{P(x \geq 2)~=~1~-~P(x~\leq~1)~=~1~-~P(x ~=~0)~-~ P(x ~=~1)}$

$\bold{P(x~=~0)~=~(\begin{array}{c}20\\0\end{array})~(0.1)^0~(1~-~0.1)^{(20~-~0)}~=~0.1216}$

$\bold{P(x~=~1)~=~(\begin{array}{c}20\\1\end{array})~(0.1)^1~(1~-~0.1)^{(20~-~1)}~=~0.2708}$

$\bold{P(x \geq 2)~=~1~-~0.1216~-~0.2708 ~=~0.6076}$

Hay una probabilidad de  0.6076  de que al menos  2  clientes realicen reclamos en el período de garantía.

¿Cuántos clientes se espera que reclamen durante un periodo de garantía, determine su varianza y desviación estándar?

E(X) = µ = n p = (20)(0.1) = 2 clientes

V(X) = σ² = n p (1 - p) = (20)(0.1)[1 - (0.1)] = 1.8 clientes²

$\bold{\sigma~=~\sqrt{V(X)} ~=~\sqrt{1.8}~=~1.34~clientes}$

Se espera que  2  clientes realicen reclamos en el periodo de garantía, con una varianza de  1.8 clientes² y una desviación estándar de  1.34  clientes.