2. Se dispone de tres cajas con bombillas. La primera contiene 10 bombillas, de las cuales hay cuatro
fundidas; en la segunda hay seis bombillas, estando una de ellas fundida, y la tercera caja hay tres
bombillas fundidas de un total de ocho. ¿Cuál es la probabilidad de que al tomar una bombilla fundida,
esta haya sido de la segunda caja?
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
Solución:
Aplicación del teorema de probabilidad total
Denotemos los siguientes eventos:
A_1:Sacar bombilla de caja 1.
A_2:Sacar bombilla de caja 2.
A_3:Sacar bombilla de caja 3.
F: Bombilla defectuosa.
Considerando el teorema de probabilidad total, tenemos que:
{P(F)=P(A_1)\cdot P(F|A_1) + P(A_2)\cdot P(F|A_2)+ P(A_3)\cdot P(F|A_3)}
La probabilidad de elegir una bombilla de cualquier caja es \displaystyle \frac{1}{3} y la probabilidad de elegir una bombilla fundida de cada una de las cajas depende del número total de bombillas en la caja y del número de bombillas fundidas en esta misma caja.
La probabilidad de elegir una bombilla fundida es la suma de probabilidades de elegir una bombilla fundida de cada caja y la podemos calcular de la siguiente manera:
\displaystyle {P(\mbox{Bombilla defectuosa})=\frac{1}{3}\cdot \frac{4}{10} + \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{6} + \frac{1}{3}\cdot \frac{3}{8} =
\displaystyle {P(\mbox{Bombilla defectuosa})=\frac{4}{30} + \frac{1}{18} + \frac{3}{24}= }
Para sumar las fracciones, encontramos el mcm y multiplicamos cada una de ellas por el número que le corresponde.
\displaystyle {P(\mbox{Bombilla defectuosa})=\frac{4}{30}\cdot \frac{12}{12} + \frac{1}{18}\cdot \frac{20}{20} + \frac{3}{24}\cdot \frac{15}{15} =\frac{113}{360}