Question

2. Obtén las coordenadas del punto que divide al segmento con extremos. A(3,1) y B(7,15) en la razón AP/PB=-1/2. *
A (-10,-14). B (1,17). C(11,29). D (-1,-17)​

Answer 1

Las coordenadas del punto P que divide al segmento AB en la razón dada son: (-1, -13)

Explicación paso a paso:

Llamemos P al punto que divide al segmento AB en la razón dada y A (x₁, y₁) B (x₂, y₂).

Razón  =  r =  AP/PB          

es decir, la razón en que el punto P divide el segmento AB es la razón entre las longitudes de los segmentos AP y PB. De aquí se deduce la fórmula:  

$\bold{r~=~\dfrac{x_{P}~-~x_{1}}{x_{2}~-~x_{P}}}$

De la fórmula podemos despejar xP

$\bold{x_{P}~=~\dfrac{r*x_{2}~+~x_{1}}{1~+~r}~=~\dfrac{(-\frac{1}{2})*(7)~+~(3)}{1~+~(-\frac{1}{2})}~=~-1}$

Para hallar  yP  construimos la ecuación de la recta usando la llamada ecuación de la recta que pasa por dos puntos:  

$\bold{(y~ -~ y_{1})~=~\dfrac{y_{2}~-~y_{1}}{x_{2}~-~x_{1}}(x~-~x_{1})}$  

$\bold{(y ~-~ 1)~=~[\dfrac{15~-~1}{7~-~3}](x~-~3) \qquad \Rightarrow \qquad 2y~=~7x~-~19}$

$\bold{2y_{P}~=~7x_{P}~-~19 \qquad \Rightarrow \qquad y_{P}~=~-~13}$

Las coordenadas del punto P que divide al segmento AB en la razón dada son: (-1, -13)