Question

2) Marcelo dispone 24m de tela metálica y desea formar un cuarto cercando un terreno rectangular empleando la tela metálica en tres de sus lados, aprovechando una pared de ladrillo de su casa ¿Qué dimensión debe tener el terreno para que tenga la mayor área posible?

Answer 1

Respuesta:

Área máxima $72m^{2}$

Dimensiones:

Largo 12m

ancho: 6 m

Explicación paso a paso:

Según el problema, se trata de trabajar con tres lados: Dos que son “x” y uno que es “y”, puesto que el cuarto lado (que sería el otro “y”) correspondería a la pared de ladrillo. Por tanto, con referencia a la longitud, planteamos una primera igualdad así: 2x+y=24m

Despejando y tenemos: Y=24-x  Igualdad 1

En cuanto al área, tenemos que multiplicar lado por lado; es decir: A=xy  Igualdad 2

La idea es trabajar sólo en función de una variable. En este caso, de la variable x: Sustituimos el valor de Y en la fórmula del área o igualdad 2:

A=x*(24-2x)

Aplicamos propiedad distributiva en la igualdad anterior y tenemos:

$A=24x-2x^{2}$   igualdad 3. Logramos que el área quede en función de x

Tenemos entonces una función cuadrática negativa, cuya parábola es cóncava hacia abajo, lo cual me indica que vamos a hallar un máximo; es decir, el área máxima. (Mira la gráfica adjunta, por fa)

Para hallar el área máxima aplico la primera derivación a la igualdad 3:

Para 24x, la derivada de la función identidad es 1, por tanto, nos queda 24*1=24

Para $2x^{2}$, el exponente baja a multiplicar al coeficiente, y al exponente le restamos 1; nos queda 4x

$A^{'}_{(x)}=24-4x$

Ahora igualamos a cero

0=24-4x

24=4x

X=24/4

X=6

Ahora, para obtener el área máxima. Como X =6 reemplazo dicho valor en la función original

A=x*(24-2x)

A=6*(24-2(6))

A=6*12

Área máxima=72$m^{2}$

Lados x=6m Si X mide 6m, y, medirá 12

2x+y=24m

2*6+y=24

y=24-12

Y=12m

PRUEBA.

Sumamos los tres lados del terreno y nos debe dar el total de la tela metálica:

6m+6m+12m=24m

Multiplicamos los lados (ancho por largo) y nos debe dar el área:

6m*12m=$72m^{2}$