2.- Encuentra la ecuación de la parábola en sus formas ordinaria y general, además de todos sus elementos, cuyo vértice está en el punto (4,3) y su foco en F(6, 3) 3.- . Encuentra la ecuación de la parábola en sus formas ordinaria y general, además de todos sus elementos, cuyo vértice está en el punto (-3,3) y su foco en F(-3,6) 4.- Encuentra la ecuación de la parábola en su forma ordinaria dada la ecuación y2 + 8y + 20x + 56 = 0, además de todos sus elementos. 5.- Encuentra la ecuación de la parábola en su forma ordinaria dada la ecuación x2 – 8x – 6y – 8 = 0, además de todos sus elementos.
Respuestas a la pregunta
Respuesta #2:
Datos:
Vértice = (4,3)
Foco = (6,3)
sabemos que la ecuación general de una parábola tiene la forma:
(x – h) ²= 4p(y – k)
sabemos que 4p es la distancia que hay desde el foco al vértice:
4p = 2cm
De modo que, al sustituir el valor de 4p y el valor del vértice:
(x – 4) ² = 2(y – 3)
x²-8x+16=2y-6
Respuesta #3:
Vértice= (-3,3)
Foco= (-3,6)
p=3
entonces al sustituir:
(x +3) ²= 12(y – 3)
Respuesta #5:
x2 – 8x – 6y – 8 = 0
x²-8x-6y-8 =0
Completamos cuadrados:
x²-8x+16-16-6y-8=0
(x-4)²-6y-24=0
(x-4)² = 6y+24
(x-4)² =6(y+4)
Respondiendo las preguntas sobre las parábolas y todos sus elementos, tenemos:
Parábola con vértice en (4,3)y foco en (6,3)
- La ecuación ordinaria de la parábola (y-3)²=8(x-4)
- Ecuación general y²-6y-8x+41=0
- Directriz: x=2
- Eje focal: y=3
- Longitud del lado recto: LR=8
Parábola con vértice en (-3,3)y foco en (-3,6)
- La ecuación ordinaria es (x+3)²=12(y-3)
- Directriz: y=0
- Eje focal: x=-3
- Longitud del lado recto: LR=12
- Ecuación general: x²+6x-12y+45=0
Parábola con ecuación y²+8y+20x+56=0
- Vértice: (-2,-4)
- Foco ⇒ (-7,-4)
- La longitud del lado recto es 20
- La ecuación de la directriz es x=-1
- Ecuación ordinaria: (y+4)²= -20(x+2)
Parábola con ecuación x²-8x-6y-8=0
- Vértice: (4,-4)
- Foco ⇒ (4,-5/2)
- El lado recto es 6
- La directriz bisectriz es y=-11/2
- Ecuación ordinaria: (x-4)²=6(y+4)
Ecuación de una parábola
La ecuación canónica u ordinaria de la parábola, con vértice en (h,k) es:
- Si está situada verticalmente ⇒ (x-h)²=4p(y-k)
Si p>0 abre hacia arriba.
Si p<0 abre hacia abajo.
- Si está situada horizontalmente ⇒ (y-k)²=4p(x-h)
Si p>0 abre hacia la derecha.
Si p<0 abre hacia la izquierda.
1) Parábola con vértice V(4,3) y foco (6, 3)
Graficando el vértice y el foco en el plano, nos damos cuenta que la parábola está situada horizontalmente y abre hacia la derecha. Es decir:
(y-k)²=4p(x-h)
Tenemos que (h,k)=(4,3). Además, la fórmula del foco es (h+p, k) (ver imagen) sabemos que la primera coordenada del foco es 6 y eso es igual según la fórmula a h+p. es decir:
6=h+p ⇒ 6=4+p ⇒ p=2
- La ecuación ordinaria de la parábola es: (y-k)²=4p(x-h) ⇒ (y-3)²=4(2)(x-4) ⇒ (y-3)²=8(x-4)
- Directriz: x=h-p ⇒ x=4-2 ⇒ x=2
- Eje focal: y=k ⇒ y=3
- Longitud del lado recto: LR=4p ⇒ LR=4*2 ⇒ LR=8
- Ecuación general: (y-3)²=8(x-4) ⇒ y²-6y+9=8x-32 ⇒ y²-6y-8x+41=0
2) Parábola con vértice V(-3,3) y foco (-3, 6)
Graficando el vértice y el foco en el plano, nos damos cuenta que la parábola está situada verticalmente y abre hacia arriba . Es decir:
(x-h)²=4p(y-k)
Tenemos que (h,k)=(-3,3). Además, la fórmula del foco es (h, k+p) (ver imagen) sabemos que la segunda coordenada del foco es 6 y eso es igual según la fórmula a k+p. es decir:
6=k+p ⇒ 6=3+p ⇒ p=3
- La ecuación de la parábola es: (x-h)²=4p(y-k) ⇒ (x-(-3))²=4(3)(y-3) ⇒ (x+3)²=12(y-3)
- Directriz: y=k-p ⇒ y=3-3 ⇒ y=0
- Eje focal: x=h ⇒ x=-3
- Longitud del lado recto: LR=4p ⇒ LR=4*3 ⇒ LR=12
- Ecuación general: (x+3)²=12(y-3) ⇒ x²+6x+9=12y-36 ⇒ x²+6x-12y+45=0
3) Parábola con ecuación y²+8y+20x+56=0
Como el término que está al cuadrado es el término y, entonces vemos que es una parábola situada horizontalmente, es decir, está definida por la ecuación:
(y-k)²=2p(x-h)
Completando cuadrados tenemos:
y²+8y+20x+56=0
y²+8y+16+20x+40=0
(y+4)²+20x+40=0
(y+4)²= -20x-40
(y+4)²= -20(x+2)
Donde h=-2, k=-4 y p = -5
Por lo que podemos ver que:
- Vértice: (-2,-4)
- El foco es (h+p, k) así el foco es (-2-5, -4) ⇒ (-7,-4)
- La fórmula del lado recto es LR = |4p|=|4(-5)|=20. El lado recto es 20
- La ecuación de la directriz es x=h-p = -2-(-1)=-1 es decir la directriz bisectriz es x=-1
- Ecuación ordinaria: (y+4)²= -20(x+2)
4) Parábola con ecuación x²-8x-6y-8=0
Como el término que está al cuadrado es el término y, entonces vemos que es una parábola situada verticalmente, es decir, está definida por la ecuación:
(x-h)²=4p(y-k)
Completando cuadrados tenemos:
x²-8x-6y-8=0
x²-8x+16-6y-24=0
(x-4)²-6y-24=0
(x-4)²=6y+24
(x-4)²=6(y+4)
Donde h=4, k=-4 y p = 3/2
Por lo que podemos ver que:
- Vértice: (4,-4)
- El foco es (h, k+p) así el foco es (4, -4+3/2) ⇒ (4,-5/2)
- La fórmula del lado recto es LR = |4p|=|4(3/2)|=6. El lado recto es 6
- La ecuación de la directriz es y=k-p = -4-(3/2)=-11/2 es decir la directriz bisectriz es y=-11/2
- Ecuación ordinaria: (x-4)²=6(y+4)
Aprende más sobre la ecuación de la parábola en brainly.lat/tarea/32895135
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