Question

2. El economista y demógrafo inglés Thomas Malthus (1766-1834) estudió la población humana y concluyó que el número de habitantes se puede modelar según la expresión P(t) =P 0 •e rt , donde P(t) es la población en un tiempo t, P 0 es la población en t=0 y r es una constante relacionada con la tasa de crecimiento. Según la información recolectada por los censos del Instituto Nacional de Estadísticas (INE), en Chile había 13.348.401 habitantes en 1992 y 15.116.435 en 2002.

a) En base a la información anterior, determine el valor de la constante r.

b) Considerando el mismo valor de la constante r, recién calculada, determine la cantidad de habitantes en Chile el año 2012.

c) ¿Cuántos años debieran pasar para que la población del año 2012 se duplique?

Answer 1

El valor de la constante  r  o tasa intrínseca de crecimiento es de 0,0124  aproximadamente.

Explicación:

El modelo de Malthus o modelo exponencial presentado es:

$\bold{P_{(t)}~=~P_0\cdot e^{r\cdot t}}$

con      P(0)  =  13.348.401  (1992)         P(10)  =  15.116.435  (2002)

a) En base a la información anterior, determine el valor de la constante r.

Se sustituyen los valores y se despeja  r

$\bold{15.116.435~=~13.348.401\cdot e^{r\cdot 10}\qquad\Rightarrow\qquad\dfrac{15.116.435}{13.348.401}~=~e^{r\cdot 10}\qquad\Rightarrow}$

$\bold{r\cdot 10~=~Ln[\dfrac{15.116.435}{13.348.401}]\qquad\Rightarrow\qquad r~=~(\dfrac{1}{10})Ln[\dfrac{15.116.435}{13.348.401}]\approx 0,0124}$

El valor de la constante  r  o tasa intrínseca de crecimiento es de 0,0124  aproximadamente.

b) Considerando el mismo valor de la constante r, recién calculada, determine la cantidad de habitantes en Chile el año 2012.

Se quiere conocer  P(20)

$\bold{P_{(20)}~=~13.348.401\cdot e^{(0,0124)\cdot (10)}~=~15.110.602}$

Aproximadamente,  15.110.602  habitantes fue la población de Chile en el año 2012, de acuerdo con el modelo de Malthus.

c) ¿Cuántos años debieran pasar para que la población del año 2012 se duplique?

Se quiere saber en que año se alcanzan los  2(15.110.602)  =  30.221.204  habitantes.  Sustituimos y despejamos  t:

$\bold{30.221.204~=~13.348.401\cdot e^{0,0124\cdot t}\qquad\Rightarrow\qquad\dfrac{30.221.204}{13.348.401}~=~e^{0,0124\cdot t}\qquad\Rightarrow}$

$\bold{0,0124\cdot t~=~Ln[\dfrac{30.221.204}{13.348.401}]\qquad\Rightarrow\qquad t~=~(\dfrac{1}{0,0124})Ln[\dfrac{30.221.204}{13.348.401}]\approx 66}$

En, aproximadamente, 66  años a partir de 1992; es decir, en el año 2058, la población de Chile será el doble que la de 2012.