2. El área de un rectángulo está dada por la expresión 4m4 – 29m2n2 + 25n4. ¿Cuáles son las expresiones asociadas a sus dimensiones? (Largo:? , ancho:?)
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
Las dimensiones del rectángulo son:
Largo = (2m² - 3mn - 5n²)
Ancho = (2m² + 3mn - 5n²)
Explicación paso a paso:
Dato.
Area del rectángulo = 4m⁴ - 29m²n² + 25n⁴
Factorizamos.
Caso:
Trinomial cuadrado perfecto por suma y resta.
4m⁴ - 29m²n² + 25n⁴ Le sumamos y restamos 9m²n²
+ 9m²n² - 9m²n²
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(4m⁴ - 20m²n² + 25n⁴) - 9m²n² El paréntesis es un trinomio al cua-
drado perfecto. Aplicas
a² - 2ab + b² = (a +- b)²
(2m² - 5n²)² - 9m²n² Aplicamos diferencia de cuadrados
a² - b² = (a + b)(a - b)
(2m² - 5n²)² - 3²m²n²
(2m² - 5n² - 3mn)(2m² - 5m² + 3mn)
(2m² - 3mn - 5n²)(2m² + 3mn - 5n²)
Largo = (2m² - 3mn - 5n²)
Ancho = (2m² + 3mn - 5n²)
Las expresiones asociadas a las dimensiones del área del rectángulo son: (2m²+7mn+5n²) y (2m²-7mn+5n²)
Explicación:
Para la resolución del problema es necesario factorizar la expresión del área.
1. A la expresión se le suma y resta 49m²n² para obtener un trinomio cuadrado perfecto:
4m⁴-29m²n² +25n⁴ +49m²n² -49m²n²
4m⁴+20m²n²+25n⁴-49m²n²
2. Se factoriza el trinomio cuadrado perfecto:
(4m⁴+20m²n²+25n⁴)-49m²n²=
(2m²+5n²)² -49m²n²
3. Se resuelve la diferencia de cuadrados:
[(2m²+5n²)+ 7mn][(2m²+5n²)-7mn]=
(2m²+7mn+5n²)(2m²-7mn+5n²)
Por lo tanto, las dimensiones del área son (2m²+7mn+5n²) y (2m²-7mn+5n²)