Question

2. Determine los extremos absolutos de la siguiente función.

f\left(x\right)=\sqrt[3]{x^2+4x-5}\ ;\ -4\le x\le5

Answer 1

Respuesta: Máximo en x=5, mínimo en x=-2

Explicación: Para determinar los extremos absolutos, debemos hallar primero los candidatos, que son: los puntos donde la derivada de la función vale 0 y los extremos del intervalo. Primero debemos hallar la derivada de la función:

$f'(x) = \frac{1}{3} (x^{2}+4x-5)^{-\frac{2}{3} }(2x+4)$

Ahora igualamos la derivada a 0 para hallar los extremos:

$\frac{1}{3} (x^{2}+4x-5)^{-\frac{2}{3} }(2x+4)=0$

Tenemos dos opciones:

La primera:

$(x^{2}+4x-5)^{-\frac{2}{3} }=0$

$x^{2}+4x-5=0$

$x= \frac{-4+-\sqrt{4^{2} -4*(-5)}}{2}$

$x= 1\\x=-5$

La segunda:

$2x+4=0\\x=-2$

Ahora debemos calcular el valor de la función en esos puntos, aparte de en los extremos del intervalo:

f(1)=0

f(-5)=0

f(-2)=-2,08

f(-4)=-1,71

f(5)=3,42

Como podemos obervar, el valor más grande se alcanza cuando x=5 y el más pequeño cuando x=-2. Por tanto, el máximo absoluto se encuentra cuando x=5 y el mínimo cuando x=-2