Question

2. Después de implementar un plan de conservación de especies en un lago, se modeló una función que determina los miles de peces presentes en el lago, respecto de los meses trascurridos desde enero de 2018, donde se registró un cardumen de 1000 peces. с N(t) = 1 + 29e-kt

(a) Determine el valor de c.

(b) Determine el valor de k considerando que en el mes de Septiembre de 2018 el cardumen tenía 1900 peces.

(c) ¿Cuántos peces había en el lago para Febrero de 2019?

(d) ¿En que mes y año se espera que haya quintuplicado la población inicial de peces? ​

Answer 1

El modelo de simulación de la población de peces en el lago es:

$\bold{N_{(t)}~=~\dfrac{30000}{1~+~29\cdot e^{-\{\dfrac{t}{9}\cdot Ln[\dfrac{551}{281}]\}}}}$

Explicación paso a paso:

(a) Determine el valor de c.

Sabemos que en enero 2018, que consideramos el tiempo cero (t  =  0), la población era de  1000  peces. Entonces, procedemos a sustituir en el modelo matemático y despejar el valor de  c:

$\bold{1000~=~\dfrac{c}{1~+~29\cdot e^{-k\cdot (0)}}\qquad\Rightarrow\qquad c = 30000}$

El modelo matemático va quedando

$\bold{N_{(t)}~=~\dfrac{30000}{1~+~29\cdot e^{-k\cdot t}}}$

(b) Determine el valor de k considerando que en el mes de Septiembre de 2018 el cardumen tenía 1900 peces.

Sustituimos en el modelo    N(9)  =  1900

$\bold{1900~=~\dfrac{30000}{1~+~29\cdot e^{-k\cdot (9)}}\qquad\Rightarrow\qquad 1900~+~55100\cdot e^{-k\cdot (9)}~=~30000\qquad\Rightarrow\qquad}$

$\bold{55100\cdot e^{-k\cdot (9)}~=~28100\qquad\Rightarrow\qquad \dfrac{55100}{28100}~=~e^{k\cdot (9)}}$

Tomando logaritmos a ambos lados

$\bold{Ln[\dfrac{55100}{28100}]~=~Ln[e^{k\cdot (9)}]\quad\Rightarrow\quad Ln[\dfrac{551}{281}]~=~k\cdot (9)\quad\Rightarrow\quad\dfrac{1}{9}\cdot Ln[\dfrac{551}{281}]~=~k}$

El modelo de simulación de la población de peces en el lago es:

$\bold{N_{(t)}~=~\dfrac{30000}{1~+~29\cdot e^{-\{\dfrac{t}{9}\cdot Ln[\dfrac{551}{281}]\}}}}$

(c) ¿Cuántos peces había en el lago para Febrero de 2019?

$\bold{N_{(13)}~=~\dfrac{30000}{1~+~29\cdot e^{-\{\dfrac{13}{9}\cdot Ln[\dfrac{551}{281}]\}}}~\approx~2508}$

Habían  2508  peces, aproximadamente, en el lago para febrero de 2019.

(d) ¿En que mes y año se espera que haya quintuplicado la población inicial de peces? ​

Se desea saber cuando hay  5000  peces en el lago

$\bold{5000~=~\dfrac{30000}{1~+~29\cdot e^{-\{\dfrac{t}{9}\cdot Ln[\dfrac{551}{281}]\}}}\quad\Rightarrow\quad e^{-\{\dfrac{t}{9}\cdot Ln[\dfrac{551}{281}]\}}~=~\dfrac{5}{29}\quad\Rightarrow}$

$\bold{e^{\{\dfrac{t}{9}\cdot Ln[\dfrac{551}{281}]\}}~=~\dfrac{29}{5}\quad\Rightarrow\quad \dfrac{t}{9}\cdot Ln[\dfrac{551}{281}]\}~=~Ln(\dfrac{29}{5})\quad\Rightarrow\quad t~\approx~24}$

En aproximadamente  24  meses la población se habrá quintuplicado. Esto sería en enero del 2020