Question

2. Demuestra que no existe una recta que pase por el punto (1,5) que sea tangente a la curva y = 4x^2​

Answer 1

Explicación paso a paso:

Para demostrar que que no existe una recta que pase por (1,5) que sea tangente a y=4x^2, recordemos que la recta tangente asociada a cada punto de (x, y) es única por lo que si la ecuación general de la recta tangente (derivada) no se satisface en (1,5) dicha recta no existe.

$y = 4 {x}^{2} \\ \\ \frac{dy}{dx} = 8x$

Para un punto (a, b) cualquiera la recta tangente asociada a y = 4(x^2) es:

$y - 4 {a}^{2} = 8a(x - a) \\ \\ y = 8ax - 8 {a}^{2} + 4 {a}^{2} \\ \\ y = 8ax - 4 {a}^{2} \\ \\ y = 4a(2x - a)$

Entonces (1,5) debe satisfacer la igualdad:

$y = 4a(2x - a) \\ \\ 5 = 4a(2(1) - a) \\ \\ 5 = 8a - 4 {a}^{2} \\ \\ - 4 {a}^{2} + 8a - 5 = 0$

Si el discriminante de esta cuadrática es menor que cero no existirán valores en R que cumplan la igualdad por lo que (1,5) no será punto de ninguna recta tangente de y = 4x^2.

${8}^{2} - 4( - 4)( - 5) = \\ 64 - 80 = - 16 < 0$

Como el discriminante es menor que cero. (1,5) no pertenece a ninguna recta tangente de y = 4x^2