2. De las siguientes sucesiones, Determinar si son monótonas y si convergen o divergen, justificar la respuesta. 4, −9 ,16,−25,36,−49,…..
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3
Puesto 1° 2° 3° 4° 5° 6°
4 , 9 , 16 , − 25 , 36 , , − 49
(-1)¹⁺¹(2)², (-1)²⁺¹(3)² , (-1)³⁺¹(4)² , (-1)⁴⁺¹(5)² , (-1)⁵⁺¹(6)² , .......
EL término general o la regla de correspondencia es :
S(n) = (-1)ⁿ⁺¹. (n+1)²
Prueba de Monotonía
Si S es monótona creciente si para todo n se cumple :
S(n+1) ≥ S(n)
(-1)⁽ⁿ⁺¹⁾⁺¹. ((n+1)+1)²≥ (-1)ⁿ⁺¹. (n+1)²
Si (-1)ⁿ⁺¹>0
(-1)(n²+4n+4) ≥(n²+2n+1)
0 ≥ 2n²+6n+5
Como vemos la desigualdad no se cumple para ningún n para los cuales (-1)ⁿ⁺¹.>0 , lo que es muestra suficiente para concluir que no es M.creciente
La sucesión sera monótona decreciente si para n se cumple que :
S(n+1) ≤g S(n)
(-1)⁽ⁿ⁺¹⁾⁺¹. ((n+1)+1)²≤ (-1)ⁿ⁺¹. (n+1)²
Si (-1)ⁿ⁺¹.<0
→ (-1)(n²+4n+4) ≥(n²+2n+1)
0 ≥ 2n²+6n+5
Nuevamente para los n donde (-1)ⁿ⁺¹.<0 , no se cumple S(n+1) ≤g S(n), con lo cual podemos concluir que tampoco es M.decreciente.
Prueba de Convergencia
Si existe el límite cuando n→∞ la sucesión será convergente , caso contrario será divergente.
Límite n→∞ (-1)ⁿ⁺¹. (n+1)² = (-1)∧∞ x (∞) = Indeterminado
Queda indeterminado porque resulta l∞} , pero si nos fijamos ,cuando exponente es par resulta ∞ y si el exponente es impar resulta -∞ por lo que tampoco diverge a ∞+ o ∞- .
Por lo tanto la Sucesión es oscilante (no es ni convergente ni divergente).
4 , 9 , 16 , − 25 , 36 , , − 49
(-1)¹⁺¹(2)², (-1)²⁺¹(3)² , (-1)³⁺¹(4)² , (-1)⁴⁺¹(5)² , (-1)⁵⁺¹(6)² , .......
EL término general o la regla de correspondencia es :
S(n) = (-1)ⁿ⁺¹. (n+1)²
Prueba de Monotonía
Si S es monótona creciente si para todo n se cumple :
S(n+1) ≥ S(n)
(-1)⁽ⁿ⁺¹⁾⁺¹. ((n+1)+1)²≥ (-1)ⁿ⁺¹. (n+1)²
Si (-1)ⁿ⁺¹>0
(-1)(n²+4n+4) ≥(n²+2n+1)
0 ≥ 2n²+6n+5
Como vemos la desigualdad no se cumple para ningún n para los cuales (-1)ⁿ⁺¹.>0 , lo que es muestra suficiente para concluir que no es M.creciente
La sucesión sera monótona decreciente si para n se cumple que :
S(n+1) ≤g S(n)
(-1)⁽ⁿ⁺¹⁾⁺¹. ((n+1)+1)²≤ (-1)ⁿ⁺¹. (n+1)²
Si (-1)ⁿ⁺¹.<0
→ (-1)(n²+4n+4) ≥(n²+2n+1)
0 ≥ 2n²+6n+5
Nuevamente para los n donde (-1)ⁿ⁺¹.<0 , no se cumple S(n+1) ≤g S(n), con lo cual podemos concluir que tampoco es M.decreciente.
Prueba de Convergencia
Si existe el límite cuando n→∞ la sucesión será convergente , caso contrario será divergente.
Límite n→∞ (-1)ⁿ⁺¹. (n+1)² = (-1)∧∞ x (∞) = Indeterminado
Queda indeterminado porque resulta l∞} , pero si nos fijamos ,cuando exponente es par resulta ∞ y si el exponente es impar resulta -∞ por lo que tampoco diverge a ∞+ o ∞- .
Por lo tanto la Sucesión es oscilante (no es ni convergente ni divergente).
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