2) ¿Cuál es el valor de a 4?
a) a 1 = - 2
b) a i = a i – 1 – 3
Respuestas a la pregunta
1.1.1. Igualdades que NO cumplen los sumatorios.
A continuaci´on se enumeran algunas de las igualdades que NO son ciertas al operar con sumatorios
(y que constituyen errores muy habituales):
1. X
n
i=1
xiyi = X
n
i=1
xi
! X
n
i=1
yi!
ya que en el lado izquierdo de la desigualdad estamos sumando
los valores de
x multiplicados por su correspondiente valor de
y:
x1y1 + x2y2 + . . . + xnyn,
y en el lado derecho de la desigualdad estamos sumando todos los valores de x multiplicados
por todos los valores de y:
(x1+x2+. . .+xn)·(y1+y2+. . .+yn) = x1y1+x1y2+. . .+x1yn+x2y1+x2y2+. . .+x2yn+xny1+xny2+. . .+xnyn.
2. X
n
i=1
x2
i
= X
n
i=1
xi!2
ya que en el lado izquierdo de la desigualdad estamos sumando los valores
de
x
elevados al cuadrado:
x2
1 + x2
2 + . . . + x2n,
mientras que en el lado derecho de la desigualdad estamos sumando todos los valores de x y
luego estamos elevando toda la suma al cuadrado:
(x1+x2+. . .+xn)2 = x2
1+x2
2+. . .+x2n+2x1x2+2x1x3+. . .+2x1xn+2x2x3+. . .+2x2xn+. . .+2xnn1xn.
3. En general, si f : R −→ R es una funci´on no lineal (es decir, no es una recta, involucra operaciones
distintas de la suma y el producto por escalares), entonces
X
n
i=1
f(xi) = f X
n
i=1
xi! .
Por ejemplo:
X
5
i=1
i3 = X
5
i=1
i!3
X
10
n
=1
ln(n) = ln X
10
n
=1
n!
X
7
k=1
√zk = v
u
u
tX
7
k=1
zk.
1.2. Sumatorios dobles (o triples, cu´adruples, etc.).
Si la variable cuyos valores queremos sumar depende de dos (o tres, cuatro, etc.) ´ındices utilizaremos
un sumatorio doble (o triple, cu´adruple, etc.). Por ejemplo, dada una matriz cuadrada n × n
A = (aij )i,j=1,...,n =
a11
a12
a13
. . . a1,(nn2)
a1,(nn1)
a1n
a
21
a
22
a
23
. . . a
2
,
(
n
n
2)
a
2
,
(
n
n
1)
a
2
n
a
31
a
32
a
33
. . . a
3
,
(
n
n
2)
a
3
,
(
n
n
1)
a
3
n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
(
n
n
2)
,
1
a
(
n
n
2)
,
2
a
(
n
n
2)
,
3
. . . a
(
n
n
2)
,
(
n
n
2)
a
(
n
n
2)
,
(
n
n
1)
a
(
n
n
2)
,n
a
(
n
n
1)
,
1
a
(
n
n
1)
,
2
a
(
n
n
1)
,
3
. . . a
(
n
n
1)
,
(
n
n
2)
a
(
n
n
1)
,
(
n
n
1)
a
(
n
n
1)
,n
a
n
1
a
n
2
a
n,
3
. . . a
n,
(
n
n
2)
a
n,
(
n
n
1)
a
nn