Question

2 cual es el area de las condenadas (-5,2)/(-8,-3) Y (-2,-8) de un triángulo con procedimiento ​

Answer 1

Respuesta:

Área del triángulo = 22.5$u^{2}$

Explicación paso a paso:

Para obtener el área del triángulo, necesitamos conocer la base $b$ y la altura $a$, pues así podremos aplicar la fórmula: $A=\frac{b*a}{2}$

Pero para obtener esos datos, debemos conocer la longitud de los lados; es decir las distancias que hay entre los puntos que te dio el ejercicio:

Inicialmente, calculemos la distancia entre los puntos: (-5, 2) y (-8, 3)

Tomamos el punto A como (-5, 2) o sea que $x_{1}=-5$ y $y_{1}=2$

El punto B como (-8, -3) o sea que $x_{2}=-8$ y $y_{2}=-3$

Aplicamos esta fórmula:

$d(A,B)=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$

Reemplazamos con valores y operamos:

$d(A,B)=\sqrt{(-8-(-5))^{2}+(-3-2)^{2}}$ = 5.83

Tenemos, entonces que un lado del triángulo mide 5.83u

Ahora calculemos la distancia entre  los puntos (5,-2) y (-2,-8)

Tomamos el punto A como (-5, 2) o sea que : $x_{1}=-5$ y $y_{1}=2$

Tomamos el punto C como (-2,-8) o sea que: $x_{2}=-2$ y $y_{2}=-8$

Reemplazamos con valores y operamos:

$d(AC)=\sqrt{(-2-(-5))^{2}+(-8-2)^{2}}$ = 10.44u

Tenemos entonces que otro lado del triángulo mide 10.44u

Ahora calculemos la tercera distancia que nos falta, es decir la que hay entre los puntos (-8,-3) y (-2,-8)

Tomamos el punto B como (8,-3) o sea que $x_{1}=-8$ y $y_{1}=-3$

Tomamos el punto C como (-2, -8) o sea que $x_{2}=-2$ y $y_{2}=-8$

Reemplazamos con valores y operamos:

$d(BC)=\sqrt{(-2-(-8))^{2}+(-8-(-3))^{2}}$ = 7.81u

Tenemos entonces que el tercer lado del triángulo mide 7.81u

Mira la imagen adjunta, por fa

Vamos a tomar el lado AC como base. o sea 10.44, pero necesitamos la altura. Eso implica que trazamos una perpendicular BD, desde el vértice B a la base AC. Ese segmento perpendicular es la altura.

Tenemos entonces que se ha formado dos triángulos rectángulos: ADB y CDB, los cuales comparten el segmento BD.

Tenemos que el lado AC mide 10.44, por tanto, si llamamos x al segmento AD, el segmento DC medirá: $10.44-x$

Aplicando el T de Pitágoras al triángulo CDB tenemos:

$7.81^{2}=a^{2}+(10.44-x)^{2}$   de donde $a^{2}=7.81^{2}-(10.44-x)^{2}$

Aplicando el T de Pitágoras al triángulo ADB tenemos:

$5.83^{2}=a^{2}+x^{2}$ de donde: $a^{2}=5.83^{2}-x^{2}$

Observemos que hay dos expresiones iguales a $a^{2}$ ; por tanto, podemos igualarlas:

$7.81^{2}-(10.44-x)^{2}=5.83^{2}-x^{2}$

Desarrollamos el binomio al cuadrado que está en el lado izquierdo:

$7.81^{2}-109+20.88x-x^{2}=5.83^{2}-x^{2}$

Podemos cancelar $x^{2}$ porque está en ambos lados de la ecuación, pues pasa con signo contrario al otro lado:

$7.81^{2}-109+20.88x=5.83^{2}$

$20.88x=5.83^{2}-7.81^{2}+109$

$20.88x=81.99$

$x=\frac{81.99}{20.88}=3.93u$

Ahora que sabemos que el segmento x=3.93, calculamos la altura, usando el triángulo ADB para aplicarle el T de Pitágoras:

$5.83^{2}=a^{2}+3.93^{2}$ ; de donde: $a^{2}=5.83^{2}-3.93^{2}$  o sea: $a^{2}=18.54$;  

por tanto  $a=\sqrt{18.54}$   a=4.31u

La altura mide 4.31u

Área del triángulo:  $\frac{b*a}{2}=\frac{10.44u*4.31u}{2}=22.5u^{2}$