Question

2. a. Calcular la carga total y la densidad superficial de una esfera conductora S de radio R= 50cm, conectada a un
potencial V=100KV
2.b. Un pequeño disco metálico (r=1cm, m=0.1g, espesura despreciable) es colocado en lo alto de la esfera. A qué
nuevo potencial temenos que conectar la esfera para que el disco se subleve?
2.c. Ahora, la esfera se conecta a una tension V=510V. El disco alcanza una altuta de equilibrio z por encima de la
esfera. Calcular z
2.d. Estando el disco en la posición precedente. Calcular las densidades superficiales en las dos caras del disco.
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Answer 1

La esfera tiene una carga de 5,56uC y una distribución de 1,77 uC por metro cuadrado con V=100kV.

Para que el disco se separe de la esfera se necesita conectarla a 420kV.

A V=510V, el disco no se separa de la esfera y quedan ambos con una distribución superficial de carga de 9,02 nC por metro cuadrado.

Explicación:

2a) Si la esfera está conectada a un potencial V=100kV este potencial es el mismo en el centro y en la superficie y aplicando la ley de Coulomb queda:

$V=\frac{kQ}{r}\\\\Q=\frac{Vr}{k}=\frac{1\times 10^{5}V.0,5m}{9\times 10^{9}\frac{Nm^2}{C^2}}=5,55\times 10^{-6}C$

Pero como la carga se distribuye formando una capa superficial uniforme queda:

$\sigma=\frac{Q}{4\pi.r^2}=\frac{5,56\times 10^{-6}C}{4\pi.(0,5m)^2}\\\\\sigma=1,77\times 10^{-6}\frac{C}{m^2}$

2b) Si el disco tiene 1cm de radio podemos tomar una aproximación considerando que la esfera es mucho más grande que el disco y tomarla como un plano con distribución de carga uniforme.

Al estar al mismo potencial que la esfera va a adquirir una distribución de carga igual a la de esta. La carga con que queda el disco es:

$Q_2=\sigma.\pi.r^2$

Y la fuerza sobre la esfera es

$F=Q_2.E\\\\E=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}$

Combinando las dos expresiones queda:

$F=\frac{\sigma^2.\pi.r^2}{2\epsilon_0}$

Igualándola al peso de la esfera queda:

$mg=\frac{\sigma^2.\pi.r^2}{2\epsilon_0}\\\\\sigma=\sqrt{\frac{mg.2\epsilon_0}{\pi.r^2}}=\sqrt{\frac{0,001kg.9,81\frac{m}{s^2}.2.8,85\times 10^{-12}\frac{C^2}{Nm^2}}{\pi.(0,01m)^2}}\\\\\sigma=7,43\times 10^{-6}\frac{C}{m^2}$

Ahora la carga de la esfera es:

$Q=\sigma.4\pi.R^2=7,43\times 10^{-6}\frac{C}{m^2}.4\pi.(0,5m)^2\\\\Q=2,34\times 10^{-5}C$

Y el potencial de la esfera:

$V=k\frac{Q}{R}=9\times 10^{9}\frac{Nm^2}{C^2}.\frac{2,34\times 10^{-5}C}{0,5m}=420kV$

2c) El voltaje anterior es un valor mínimo con lo cual V=510V es un voltaje insuficiente para que el disco se separe de la esfera.

2d) En este caso el disco permanece apoyado sobre la esfera, con lo cual tiene la misma distribución de carga superficial que esta:

$Q=\frac{VR}{k}=\frac{510V.0,5m}{9\times 10^{9}\frac{Nm^2}{C^2}}\\\\Q=2,83\times 10^{-8}C\\\\\sigma=\frac{Q}{4\pi.R^2}=\frac{2,83\times 10^{-8}C}{4\pi.(0,5m)^2}\\\\\sigma=9,02\times 10^{-9}\frac{C}{m^2}=9\frac{nC}{m^2}$