Question

17) En un club de esparcimiento de 500 socios se van a celebrar unos campeonatos de ajedrez, cartas y dominó. Hay 90 personas que no van a participar, y se sabe que hay un total de 180 apuntados en ajedrez, 200 a cartas y 220 a dominó. Hay 70 apuntados a ajedrez y cartas, 90 a cartas y dominó y 80 a ajedrez y dominó. Se desea saber el número de personas apuntadas a un solo campeonato, a solo dos cualesquiera de ellos y a los tres.

Answer 1

El número de personas apuntadas a un solo campeonato, y a solo dos entre los tres es:

• A + C + D =  270
• (A∩C) + (A∩D) + (C∩D) = 90

¿Qué es la teoría de conjuntos?

Es la representación de las posibles relaciones que existen entre varios conjuntos. Y por medio del diagrama de Venn que es la representación gráfica de la teoría de conjuntos se puede obtener dicha relación.

Operaciones entre conjuntos:

• A U B: la unión de A con B, son los elementos de A más los elementos de B.
• A ∩ B: la intersección de A con B son los elementos que compartes ambos conjuntos.
• A - C: la diferencia de conjuntos son los valores de A que no comparta con C.
• ∅: conjunto nulo son elementos que no pertenecen al subconjunto pero son parte del universo.
• U: universo contiene todos los subconjuntos.

¿Cuál es el número de personas apuntadas a un solo campeonato, a solo dos cualesquiera de ellos y a los tres?

Definir

• U: universo (500 personas)
• A: ajedrez
• C: cartas
• D: dominó

Aplicar teoría de conjuntos;

• U = A + C + D + (A∩C) + (A∩D) + (C∩D) + (A∩C∩D) + ∅
• ∅ = 90
• A + (A∩C) + (A∩D)  + (A∩C∩D) = 180
• C + (A∩C) + (C∩D) + (A∩C∩D) = 200
• D + (A∩D) + (C∩D) + (A∩C∩D) = 220
• (A∩C) + (A∩C∩D) = 70
• (C∩D)  + (A∩C∩D) = 90
• (A∩D)  + (A∩C∩D) = 80

Sustituir y despejar;

A + (A∩D)  + 70 = 180

A + (A∩D) = 110

A = 110 - (A∩D)

C + (A∩C) + 90 = 200

C + (A∩C) = 110

C = 110 - (A∩C)

D + (C∩D) + 80 = 220

D + (C∩D) = 140

D = 140 - (C∩D)

U = A + C + D + (A∩C) + (A∩D) + (C∩D) + (A∩C∩D) + ∅

U = A + C + (A∩C) + 220 + 90

500 = A + 110 + 220 + 90

500 = A + 420

Despejar A;

A = 500 - 420

A = 80

Sustituir;

80 = 110 - (A∩D)

(A∩D)  = 110 - 80

(A∩D) = 30

30 + (A∩C∩D) = 80

(A∩C∩D) = 80 - 30

(A∩C∩D) = 50

(A∩C) + 50 = 70

(A∩C) = 20

(C∩D) + 50  = 90

(C∩D) = 40

C = 110 - 20

C = 90

D = 140 - 40

D = 100

Las personas apuntadas a un solo campeonato:

A + C + D = 80 + 90 + 100

A + C + D =  270

Las personas apuntadas a dos solo campeonatos:

(A∩C) + (A∩D) + (C∩D) = 20 + 40 + 30

(A∩C) + (A∩D) + (C∩D) = 90

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