Question

16. Un cuerpo con MAS tiene una amplitud de 0,6 metros y un periodo de 0,2
segundos. Halle la ecuación de posición, velocidad y aceleración en función del tiempo,
luego determine el valor de cada una al transcurrir 1 segundo (t=1 s) cuando:
0₁ = 0° ; 0₁ = 90° ; 0₁ = 180°
Solución:

Answer 1

Respuesta:

La ecuación que describe a un movimiento armónico simple es la siguiente:

$x(t)=A×sen(ωt+Φ) \: en \: SI$

• Ocupo seno por costumbre, pero puede usarse perfectamente el coseno.
• Φ es la fase inicial del movimiento. En el enunciado de tu problema lo pones como 0, cosa que no esta bien. Puede usarse teta ( θ ).
• "SI" significa que las medidas estan en el sistema internacional. Es decir, el espacio o elongación sera en metros al igual que la amplitud y el tiempo en segundos.

Bueno comenzamos reuniendo los datos:

• A (amplitud medida en metros): 0.6 m
• T (periodo, medido en segundos NO es lo mismo que tiempo): 0.2 s

Nos falta saber las pulsaciones (ω), para eso haremos uso de esta formula:

$ω = \frac{2\pi}{T}$

Si sustituimos los datos:

$ω = \frac{2\pi}{0.2} = 10\pi \: \frac{rad}{s}$

Recordemos que las pulsaciones se miden en rad/s (radianes por segundo, dicho vulgarmente).

No se recomienda usar el valor de π ya que el resultado será menos preciso ya que se pierden decimales, es mejor mantener el simbolo hasta el final.

Ya teniendo las pulsaciones armamos la formula:

$x(t)= 0.6×sen(10πt+Φ)$

Esta es la formula de la posición o de la elongación.

Para calcular la formula de la velocidad debemos recordar que, al menos en física, la velocidad siempre es la derivada del espacio (o distancia), por lo que tendremos que derivar la ecuación que obtuvimos anteriormente:

$v = \frac{dx}{dt}$

Lo derivamos siempre con respecto al tiempo.

$v = \frac{dx}{dt} = 0.6 \times 10\pi \cos(10πt+Φ) \\ \\ v(t) = 6\pi \times \cos(10πt+Φ) \: en \: \frac{m}{s}$

Si por algún motivo no sabes derivar (aunque yo creo que viendo este tipo de ejercicios creo que si sabes) puedes usar la siguiente formula, aunque no te la recomiendo ya que te puedes confundir con el seno y el coseno:

$v(t)= A×ω×cos(ωt+Φ)$

Es decir, pasas multiplicando a las pulsaciones y transformas el seno en coseno.

Ahora calcularemos la ecuación de la aceleración, recordemos que físicamente la aceleración es la derivada de la velocidad y por ende derivada segunda de la distancia, por lo que tendremos que derivar nuevamente pero esta vez a la formula de la velocidad que acabamos de calcular:

$a = \frac{dv}{dt}$

Siempre con respecto al tiempo.

$a = \frac{dv}{dt} = 6\pi \times - 10\pi \: sin(10\pi t+Φ) \\ \\ a(t) = - 60 {\pi}^{2} \sin(10\pi t+Φ) \: en \: \frac{m}{ {s}^{2} }$

Nuevamente, si no sabes derivar puedes usar esta formula pero no te la recomiendo:

$a(t)=A×-ω²×sen(ωt+Φ)$

Bueno voy a hacer solo 1 de los 3 que piden ya que quiero que los hagas tu. El probelma dice que calculemos la posición, la velocidad y la aceleración cuando el tiempo es 1 y que la fase inicial es 0°, 90° y 180°. Estas formulas no sirven en angulos asi que deberemos pasar todos a radianes, podemos hacerlo de la siguiente forma:

$0° \times \frac{\pi rad}{180°} = 0 \: rad$

Es decir multiplicando por π y dividiendo por 180°, la medida de grados se va y solo queda la medida de radianes. Es un factor de conversión. Ya sabiendo la fase inicial es radianes debemos ponerlo en las formulas sistituyendo a Φ:

$x(1) = 0.6 \times \sin(10\pi \times 1 + 0) \\ x(1) = 0.6 \times \sin(10\pi) \\ x(1) = 0.6 \times 0 \\ x(1) = 0 \: m$

En el tiempo 1 segundo la posición es 0 metros.

Vamos con la velocidad:

$v(1) = 6\pi \times cos(10\pi \times 1 + 0) \\ v(1) = 6\pi \times cos(10\pi) \\ v(1) = 6\pi \times 1 \\ v(1) = 6\pi \frac{m}{s} = 18.84 \frac{m}{s}$

Con la aceleración:

$a(1) = - 60\pi \times \sin(10\pi \times 1 + 0) \\ a(1) = - 60\pi \times 0 \\ a (1) = 0 \: \frac{m}{ {s}^{2} }$

Esto cuadra con que cuando el cuerpo esta en el punto de equilibrio, es decir 0 metros, la aceleración es minima y nula, osea 0 y la velocidad es maxima, aunque lo intentemos no habran valores mas grandes que 18.84 en la velocidad, para que lo veas lo dejare en forma de imagen, espero que lo entiendas si no avisame por comentarios para explicartela.

Espero que hayas entendido todo. Buena suerte haciendo los demas ejercicios.