Question

16.- ¿Cuál será la medida del ángulo formado por los planos L1: 3x-y-z+1=0 y L2: x-2y+z-5=0?
eleccione una:
a.
b.
c.
d.

Answer 1

Respuesta:

$\alpha \approx 60,5$

Explicación paso a paso:

Si se tiene dos planos:

$L_1: \: \: \: A_1 x + B_1 y + C_1 z + D_1 = 0 \\ L_2: \: \: \: A_2 x + B_2 y + C_2 z + D_2= 0$

El ángulo formado por los planos:

$Cos(\alpha)= \frac{ |A_1 A_2 + B_1 B_2 + C_1 C_2|}{\sqrt{{A_1}^{2}+{B_1 }^{2}+{C_1}^{2}} \sqrt{{A_2}^{2}+{B_2}^{2}+{C_2}^{2}}}$

Resolución:

Se tiene los planos:

$L_1: \: \: \: 3x - y - z + 1= 0 \\ \implies A_1=3 \\ \implies \: B_1 = -1 \\ \implies \: C_1 = -1 \\ \\ \\ L_2: \: \: \:x - 2 y + z - 5= 0 \\ \implies A_2=1 \\ \implies \: B_2 = -2 \\ \implies \: C_2 = 1$

El ángulo formando por los planos:

$Cos(\alpha)= \frac{ |A_1 A_2 + B_1 B_2 + C_1 C_2|}{\sqrt{{A_1}^{2}+{B_1 }^{2}+{C_1}^{2}} \sqrt{{A_2}^{2}+{B_2}^{2}+{C_2}^{2}}}$

$Cos(\alpha)= \frac{ |(3)(1)+ ( - 1)( - 2) +( - 1)(1)|}{\sqrt{{(3)}^{2}+{( - 1)}^{2}+{( - 1)}^{2}} \sqrt{{(1)}^{2}+{( - 2)}^{2}+{(1)}^{2}}}$

$Cos(\alpha)= \frac{ |3+2 - 1|}{\sqrt{9+1+1} \sqrt{1+4+1}}$

$Cos(\alpha)= \frac{ |4|}{\sqrt{11} \sqrt{6}}$

$Cos(\alpha)= \frac{ 4}{\sqrt{66}}$

$\alpha = Cos^{-1} (\frac{4}{\sqrt{66}})$

Para ese cálculo se recomienda usar una calculadora científica: ( ver imágen)

$\alpha = 60,5037915034336...$

Redondeado es:

$\alpha \approx 60,5$