14) Una clase consta de 6 niñas y 10 niños. Si se escoge un comité de 3 al azar, hallar la probabilidad de:
a) Seleccionar tres niños.
b) Seleccionar exactamente dos niños y una niña.
c) Seleccionar por lo menos un niño.
d) Seleccionar exactamente dos niñas y un niño.
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
En total tenemos 16 alumnos, de los que 6 son niñas y 10 niños. Sabiendo esto, debemos calcular la probabilidad en cada uno de los siguientes casos:
a) Seleccionar tres niños:
La probabilidad de seleccionar un niño la primera vez es de de 10/16, pues hay 10 niños de 16 alumnos que hay en total.
La probabilidad de seleccionar un niño la segunda vez es de 9/15, pues quedan 9 niños de los 15 alumnos que quedan (ya hemos contado un niño la primera vez).
La probabilidad de seleccionar un niño la tercera vez es de 8/14, pues quedan 8 niños de los 14 alumnos que quedan.
Multiplicamos las fracciones:
10/16 × 9/15 × 8/14 = 720/3360 = 3/14
b) Seleccionar exactamente dos niños y una niña:
En este caso, debemos tener en cuenta que podemos seleccionar a la niña la primera, segunda o tercera vez, por lo que tendremos que sumar las tres opciones:
Si seleccionamos a la niña la primera vez:
La probabilidad de seleccionar primero a una niña es de 6/16
La probabilidad de seleccionar a un niño la segunda vez es de 10/15
La probabilidad de seleccionar a un niño la tercera vez es de 9/14
6/16 × 10/15 × 9/14
Si seleccionamos a la niña la segunda vez:
La probabilidad de seleccionar a un niño la primera vez es de 10/16
La probabilidad de seleccionar a una niña la segunda vez es de 6/15
La probabilidad de seleccionar a un niño la tercera vez es de 9/14
10/16 × 6/15 × 9/14
Si seleccionamos a la niña la tercera vez:
La probabilidad de seleccionar a un niño la primera vez es de 10/16
La probabilidad de seleccionar a un niño la segunda vez es de 9/15
La probabilidad de seleccionar a una niña la tercera vez es de 6/14
10/16 × 9/15 × 6/14
Sumamos los productos:
6/16 × 10/15 × 9/14 + 10/16 × 6/15 × 9/14 + 10/16 × 9/15 × 6/14 = 27/56
c) Seleccionar por lo menos un niño:
Como necesitamos calcular la probabilidad de seleccionar uno, dos o tres niños, lo más fácil será restar a 1 la probabilidad de no seleccionar ninguno:
La probabilidad de no obtener ningún niño es la probabilidad de seleccionar tres niñas:
La probabilidad de seleccionar a una niña la primera vez es de 6/16
La probabilidad de seleccionar a una niña la segunda vez es de 5/15
La probabilidad de seleccionar a una niña la tercera vez es de 4/14
Restamos a 1 el producto de las tres farcciones:
1 - 6/16 × 5/15 × 4/14 = 27/28
d) Seleccionar exactamente dos niñas y un niño.
En este caso, debemos tener en cuenta que podemos seleccionar al niño la primera, segunda o tercera vez, por lo que tendremos que sumar las tres opciones:
Si seleccionamos al niño la primera vez:
La probabilidad de seleccionar primero a un niño es de 10/16
La probabilidad de seleccionar a una niña la segunda vez es de 6/15
La probabilidad de seleccionar a una niña la tercera vez es de 5/14
10/16 × 6/15 × 5/14
Si seleccionamos al niño la segunda vez:
La probabilidad de seleccionar a una niña la primera vez es de 6/16
La probabilidad de seleccionar a un niño la segunda vez es de 10/15
La probabilidad de seleccionar a una niña la tercera vez es de 5/14
6/16 × 10/15 × 5/14
Si seleccionamos al niño la tercera vez:
La probabilidad de seleccionar a una niña la primera vez es de 6/16
La probabilidad de seleccionar a una niña la segunda vez es de 5/15
La probabilidad de seleccionar a un niño la tercera vez es de 10/14
6/16 × 5/15 × 10/14
Sumamos los productos:
10/16 × 6/15 × 5/14 + 6/16 × 10/15 × 5/14 + 6/16 × 5/15 × 10/14 = 15/56
Regla de Laplace
La probabilidad básica de que un evento ocurra esta dada por la regla de Laplace que es casos favorables entre casos totales, es decir la probabilidad de que A ocurra es:
P(A) = casos favorables/casos totales
Por lo tanto, determinamos todos las probabilidades
Casos totales: comb(16,3) = 16!/((16 - 3)!*3!) = 560
a) Seleccionar 3 niños: entonces de los 10 niños tomamos 3:
Comb(10,3) = 10!/((10 - 3)!*3!) = 120
P = 120/560 = 0.2143
b) Seleccionar 2 niños y una niña: entonces de los 10 niños tomamos 2 y de las 6 niñas una:
Comb(10,2)*6 = 10!/((10 - 2)!*2!)*6 = 270
P = 270/560 = 0.4821
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