Question

14. Determine la distancia desde el punto C (120,- 200, 150) m, al plano que contiene a los puntos
P(4, -5.7) m, Q (3.-2, -10) myR (-20, 15,- 12) m.
R: 72.84 m​

Answer 1

La distancia del punto C al plano que contiene a los puntos P, Q y R es:  

d(C,π) = 74.48 m

Explicación:  

Dados,  

P(4,-5,7)  

Q(3,-2,-10)  

R(-20,15,-12)  

C(120, -200, 150)

Iniciamos hallando la normal del plano;  

Es el producto vectorial de dos vectores que se encuentran en el plano;  

n = PQ × PR  

Siendo;  

PQ = (3-4, -2+5, -10-7)  

PQ = (-1, 3, -17)  

PR = (-20-4, 15+5, -12-7)  

PR = (-24, 20, -19)  

Sustituir;  

$= \left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\-1&3&-17\\-24&20&-19\end{array}\right]$  

= i [(3)(-19)-(20)(-17)] -j [(-1)(-19)-(-27)(-17)]+ k [(-1)(20)-(-24)(3)]  

= 283 i + 389 j +52 k  

n = (283, 389, 52)  

Se tiene un punto A(x, y, z) perteneciente al plano;  

El vector PA;  

PA = (x-4, y+5, z-7)  

Siendo este vector ⊥ al plano;  

Si dos vectores son perpendiculares entonces su producto punto es igual a cero;  

PA • n = 0  

Sustituir;  

(x-4, y+5, z-7)•(283, 389, 52) = 0  

283(x-4) + (y+5)389 + (z-7)52 = 0  

283x - 1132 + 389y + 1945 + 52z -364 =0  

Agrupar términos semejantes;  

π: 283x + 389y + 52z + 449 = 0

Distancia de un punto a un plano:

$d(C,\pi )=\frac{|Ax_{0}+By_{0}+Cz_{0}+D|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}$  

sustituir;

$d(C,\pi )=\frac{|(283)(120)+(389)(-200)+(52)(150)+449|}{\sqrt{283^{2}+389^{2}+52^{2}}}$  

$d(C,\pi )=\frac{36040}{\sqrt{234114}}$  

d(C,π ) = 74.84 m