Question

139 Dos postes de 12 m y 18 m de altura distan entre sí 30 m.
Se desea tender un cable uniendo un punto del suelo entre
los dos postes con los extremos de estos. ¿En qué posición
debe situarse el punto en el suelo para que la longitud total
del cable sea mínima?

Answer 1

La posición del cable para que este tenga una longitud mínima es:

x = 12 m

¿Cómo obtener máximos y mínimos?

Aplicando derivadas sucesivas. La primera derivada permite hallar un punto crítico y la segunda derivada determina si se trata de un máximo o mínimo.

Criterio de la segunda derivada:

• Si la segunda derivada es positiva, se está hablando de un mínimo relativo.
• Si la segunda derivada es negativa se está hablando de un máximo relativo.

¿Cómo se relacionan los lados triángulo rectángulo?

Por medio del Teorema de Pitágoras, que es una fórmula que relaciona los tres lados del triángulo.

L² = h² + d²

Siendo;

• L: hipotenusa
• d y h: los catetos

¿En qué posición debe situarse el punto en el suelo para que la longitud total del cable sea mínima?

La longitud total del cable es la suma de L₁ y L₂.

L = L₁ + L₂

Aplicar teorema de Pitágoras para determinar L₁ y L₂.

L₁ = √[x² + 12²]

L₁ = √[x² + 144]

L₂ = √[(30 - x)² + 18²]

L₂ = √[(30 - x)² + 324]

Aplicar binomio cuadrado;

L₂ = √[900 - 60x + x² + 324]

L₂ = √[1224 - 60x + x²]

Sustituir;

L(x) = √[x² + 144] + √[1224 - 60x + x²]

Aplicar primera derivada;

$L'(x) = \frac{2x}{2\sqrt{x^{2} +144} } +\frac{2x - 60}{2\sqrt{x^{2} -60x+1224} }\\\\L'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^{2} +144} } +\frac{x - 30}{\sqrt{x^{2} -60x+1224} }$

Igualar a cero L'(x);

$\frac{x}{\sqrt{x^{2} +144} } +\frac{x - 30}{\sqrt{x^{2} -60x+1224} }=0$

x√[1224 - 60x + x²] + (x - 30)√[x² + 144] = 0

x√(1224 - 60x + x²) = - (x - 30)√(x² + 144)

Elevar al cuadrado;

[x√(1224 - 60x + x²)]² = [(x - 30)√(x² + 144)]²

x²(1224 - 60x + x²) =  (x - 30)²(x² + 144)

1224x² - 60x³ + x⁴ = (x² - 60x + 900)(x² + 144)

1224x² - 60x³ + x⁴ = x⁴ - 60x³ + 900x² + 144x² - 8640x + 129600

1224x² - 900x² - 144x² + 8640x - 129600 = 0

180x² + 8640x - 129600 = 0

Aplicar la resolvente;

$x_{1,2}=\frac{-8640\pm\sqrt{8640^{2}-4(180)(-129600)}}{2(180)}\\\\x_{1,2}=\frac{-8640\pm\sqrt{167961600}}{360}\\\\x_{1,2}=\frac{-8640\pm12960}{360}$

x₁ = 12 m

x₂ = -60

Puedes ver más sobre optimización y teorema de Pitágoras aquí:

https://brainly.lat/tarea/13504125

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