11. Un padre desea distribuir sus bienes raíces, cuyo valor es $234,000, entre sus 4 hijas, de la siguiente manera: 2/3 de las propiedades deben dividirse por igual entre las hijas. Por el resto, cada hija debe recibir $3,000 cada año, hasta su vigésimo primer cumpleaños. Como entre ellas se llevan 3 años, ¿Cuánto recibirán cada una de los bienes de su padre?, ¿Qué edad tienen ahora esas hijas?
Respuestas a la pregunta
sean a, b, c y d lo que reciben cada una de las hijas
sea t los años que quedan para el 21 cumpleaños de la mayor
a + b + c + d = 234 (en miles)
a = 234 · 2/3 · 1/4 + 3 · t = 39 + 3t
b = 234 · 2/3 · 1/4 + 3 · (t + 3) = 48 + 3t
c = 234 · 2/3 · 1/4 + 3 · (t + 6) = 57 + 3t
d = 234 · 2/3 · 1/4 + 3 · (t + 9) = 66 + 3t
cinco ecuaciones con cinco incógnitas
a + b + c + d = 234
a - 3t = 39
b - 3t = 48
c - 3t = 57
d - 3t = 66
en forma matricial
1 1 1 1 0 234
1 0 0 0 -3 39
0 1 0 0 -3 48
0 0 1 0 -3 57
0 0 0 1 -3 66
reordenamos
1 0 0 0 -3 39
0 1 0 0 -3 48
0 0 1 0 -3 57
0 0 0 1 -3 66
1 1 1 1 0 234
operamos para dejar sólo la diagonal principal con unos
1 0 0 0 -3 39
0 1 0 0 -3 48
0 0 1 0 -3 57
0 0 0 1 -3 66
0 1 1 1 3 195
1 0 0 0 -3 39
0 1 0 0 -3 48
0 0 1 0 -3 57
0 0 0 1 -3 66
0 0 1 1 6 147
1 0 0 0 -3 39
0 1 0 0 -3 48
0 0 1 0 -3 57
0 0 0 1 -3 66
0 0 0 1 9 90
1 0 0 0 -3 39
0 1 0 0 -3 48
0 0 1 0 -3 57
0 0 0 1 -3 66
0 0 0 0 12 24
1 0 0 0 0 45
0 1 0 0 0 54
0 0 1 0 0 63
0 0 0 1 0 72
0 0 0 0 1 2
las hijas recibirán, de mayor a menor:
$45.000, $54.000, $63.000 y $72.000
(y como información adicional, hemos calculado que quedan 2 años para que la mayor cumpla 21 años, luego sus edades son: 19, 16, 13 y 10 años)