Question

11. En un corral hay gallinas y conejos, si se cuentan las cabezas hay 23, pero si se cuentan las patas hay 62 ¿cuántas gallinas y cuantos conejos hay en el corral? ¿puede haber mas de una respuesta? ¿por qué?​

Answer 1

En el corral hay 15 gallinas y 8 conejos

No puede haber más de una respuesta, sino sólo una. Dado que el sistema de ecuaciones con dos incógnitas tiene una única y sola solución dado que se satisfacen las igualdades de cada ecuación que componen el sistema.

Solución

a) Determinamos la cantidad de las dos clases de animales que hay en el corral

Llamamos variable "x" la la cantidad de gallinas y variable "y" a la cantidad de conejos

Donde sabemos que

El total de cabezas en el corral es de 23

Donde el total de patas es de 62

Teniendo una gallina 2 patas

Teniendo un conejo 4 patas

Estamos en condiciones de plantear un sistema de ecuaciones que satisfaga al problema

El sistema de ecuaciones:

Sumamos la cantidad de gallinas y de conejos para la primera ecuación y la igualamos a la cantidad de cabezas en el corral

$\large\boxed {\bold {x \ +\ y = 23 }}$             $\large\textsf{Ecuaci\'on 1 }$

Luego como una gallina tiene 2 patas y un conejo tiene 4 patas planteamos la segunda ecuación, y la igualamos a la cantidad de patas que hay en total en el corral

$\large\boxed {\bold {2x \ + \ 4y = 62 }}$         $\large\textsf{Ecuaci\'on 2 }$

Luego

$\large\boxed {\bold {y =23 -x }}$                 $\large\textsf{Ecuaci\'on 3 }$

Resolvemos el sistema de ecuaciones

Reemplazando

$\large\textsf{Ecuaci\'on 3 }$

$\large\boxed {\bold {y =23 -x }}$

$\large\textsf {En Ecuaci\'on 2 }$

$\large\boxed {\bold {2x \ + \ 4y = 62 }}$

$\boxed {\bold {2x \ + \ 4 (23-x) = 62 }}$

$\boxed {\bold {2x \ + \ 92-4x = 62 }}$

$\boxed {\bold {-2x \ + \ 92 = 62 }}$

$\boxed {\bold {-2x = 62 -92 }}$

$\boxed {\bold { -2x = -30 }}$

$\boxed {\bold { x = \frac{-30}{-2} }}$

$\large\boxed {\bold { x = 15 }}$

Luego en el corral se tienen 15 gallinas

Hallamos la cantidad de conejos

Reemplazando el valor hallado de x en

$\large\textsf{Ecuaci\'on 3 }$

$\large\boxed {\bold {y =23 -x }}$              

$\boxed {\bold {y =23 -15 }}$

$\large\boxed {\bold {y =8 }}$

Por tanto en el corral hay 8 conejos

Verificación

Reemplazamos los valores hallados para x e y en el sistema de ecuaciones

$\large\textsf{Ecuaci\'on 1 }$

$\boxed {\bold {x \ +\ y = 23 \ cabezas}}$

$\boxed {\bold {15 \ gallinas \ +\ 8\ conejos = 23 \ cabezas }}$

$\boxed {\bold {23 \ cabezas = 23 \ cabezas }}$

$\textsf{Se cumple la igualdad }$

$\large\textsf{Ecuaci\'on 2 }$

$\boxed {\bold {2x \ + \ 4y = 62 }}$

$\boxed {\bold { 2 \ patas \ . \ 15 \ gallinas \ + 4 \ patas \ . \ 8 \ conejos = 62 \ patas}}$

$\boxed {\bold {30 \ patas + \ 32 \ patas =62 \ patas }}$

$\boxed {\bold {62 \ patas = 62 \ patas }}$

$\textsf{Se cumple la igualdad }$

b) ¿Puede haber más de una respuesta? ¿Por qué?

Después de resolver el sistema de ecuaciones con 2 incógnitas se han sustituido los valores hallados de x e y en las ecuaciones que modelan la situación del problema

$\bold{x = 15}$

$\bold{y = 8}$

Por tanto siendo el conjunto solución  x = 15, y = 8 , vimos que al reemplazarlo en el sistema de ecuaciones con 2 incógnitas planteado este se verifica.

Lo que significa que no puede haber más de una respuesta, sino sólo una

Concluyendo que el sistema de ecuaciones con dos incógnitas tiene una única y sola solución dado que se satisfacen las igualdades de cada ecuación que componen el sistema.

A este sistema se lo conoce como compatible determinado

Para finalizar si este problema se hubiese resuelto de manera gráfica, se trazarían las rectas que componen el sistema de ecuaciones con dos incógnitas que modelan el problema. Encontrándose la solución al problema en el punto que las 2 rectas se intersecan

Se agrega la representación gráfica sólo a fines ilustrativos

Si se desea saber como se resuelve de manera gráfica un sistema de ecuaciones con 2 incógnitas visita: https://brainly.lat/tarea/56520167