10z4+5z3-20z factorizar polinomios
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
1 x^{3} + x^{2} = x^{2} (x + 1)
La raíces son: x = 0 y x = -1
2 2x^{4} + 4x^{2} = 2x^{2} (x^{2} + 2)
Sólo tiene una raíz x = 0 porque que el polinomio, x^{2} + 2, no tiene ningún valor que lo anule. Como la x es al cuadrado, el resultado siempre será un número positivo, entonces es irreducible.
Doble extracción de factor común
1 x^{2} - ax - bx + ab = x (x - a) - b (x - a)
Sacamos factor común de x y y.
Como (x-a) es ahora un factor común, sacamos factor común de (x-a) .
x (x - a) - b (x - a) = (x - a) \cdot (x - b)
La raíces son x=a y x=b.
Si tenemos un binomio
Cuando tenemos un binomio, puede ocurrir alguno de los siguientes casos:
Diferencia de cuadrados
Una diferencia de cuadrados es igual a suma por diferencia.
a^{2} - b^{2} = (a + b) \cdot (a - b)
Ejemplos de ejercicios con diferencia de cuadrados:
Descomponer en factores y hallar las raíces
1 x^{2} - 4 = (x + 2) \cdot (x - 2)
Las raíces son x=-2 y x=2
2 x^{4} - 16 = (x^{2} + 4) \cdot (x^{2} - 4) =
El ultimo termino es también una diferencia de cuadrados, entonces:
(x^{2} + 4) \cdot (x^{2} − 4) = (x + 2) \cdot (x − 2) \cdot (x^{2} + 4)
Las raíces son x=-2 y x=2
Suma de cubos
a^{3} + b^{3} = (a + b) \cdot (a+b)^{2} =(a+b) \cdot (a^{2} - ab + b^{2})
Ejemplo de ejercicio con suma de cubos:
8x^{3} + 27 = (2x + 3) \cdot (2x + 3)^{2} = (2x + 3) \cdot (4x^{2} - 6x + 9)
Diferencia de cubos
a^{3} - b^{3}= (a - b) \cdot (a^{2} + ab + b^{2})
Ejemplo de ejercicio con diferencia de cubos :
8x^{3} - 27 = (2x - 3) (4x^{2} + 6x + 9)
Si tenemos un trinomio
Cuando tenemos un trinomio, puede ocurrir alguno de los siguientes casos
Trinomio cuadrado perfecto
Un trinomio cuadrado perfecto es igual a un binomio al cuadrado.
a^{2} \pm 2 a b + b^{2} = (a \pm b)^{2}
Ejemplos de trinomios cuadrados perfectos
Descomponer en factores y hallar las raíces
1 Estructura de un binomio al cuadrado grafica
Tenemos que preguntarnos:
¿Qué número elevado al cuadrado da 9? La respuesta es 3?
¿Qué número elevado al cuadrado da x^{2}?La respuesta es x.
Y tenemos que comprobar que 2 \cdot 3 \cdot x = 6x
La raíz esx=-3, y se dice que es una raíz doble.
2 estructura de un binomio elevando al cuadrado dibujo
¿Qué número elevado al cuadrado da x^{2}? x
¿Qué número elevado al cuadrado da 4? 2
Y tenemos que comprobar que 2 \cdot x \cdot 2 = 4x
La raíz doble es x = 2.
Trinomio de segundo grado
Para descomponer en factores el trinomio de segundo grado P(x) = ax^{2} + bx + c, se iguala a cero y se resuelve la ecuación de segundo grado.
Si las soluciones a la ecuación son x_1 y x_2 , el polinomio descompuesto será:
ax^{2} + bx + c = a \cdot (x - x_1) \cdot (x - x_2)
Ejemplos de trinomios de segundo grado
Descomponer en factores y hallar las raíces
1 x^{2}-5x+6
Igualamos el trinomio a cero
x^{2}-5x+6=0
Aplicamos la fórmula de la ecuación de segundo grado:
x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}
Aplicación de la formula general para ecuaciones de segundo grado
Factorizamos
x^{2}-5x+6=(x-2)\cdot (x-3)
Las raíces son x=3 y x=2 .
2 x^{2}-x-6
Igualamos el trinomio a cero
x^{2}-x-6=0
Resolvemos la ecuación
Aplicacion de la formula general para ecuaciones de 2do grado
Factorizamos
x^{2}-x-6=(x+2)\cdot (x-3)
Las raíces son x=3 y x=-2 .
Trinomios de cuarto grado de exponentes pares
Para hallar las raíces se iguala a cero y se resuelve la ecuación bicuadrada.
Ejemplos de trinomios de cuarto grado de exponentes partes
1 x^{4} - 10x^{2} + 9
Igualamos el polinomio a cero
x^{4} - 10x^{2} + 9 = 0
Realizamos un cambio de variable
x^{2} = t
t^{2} - 10t + 9 = 0
Resolvemos la ecuación de segundo grado
Aplicación de la formula general a una ecuación con cambio de variable
Deshacemos el cambio de variable y obtenemos las raíces
x^{2}=9 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=\pm \sqrt{9}=\pm 3
x^{2}=1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=\pm \sqrt{1}=\pm 1
x^{4} - 10x^{2} + 9 = (x + 1) \cdot (x - 1) \cdot (x + 3) \cdot (x - 3)
2 x^{4} - 2x^{2} -3
Igualamos el polinomio a cero
x^{4} - 2x^{2} -3 = 0
Realizamos un cambio de variable
x^{2} = t
t^{2} - 2t -3 = 0
Resolvemos la ecuación de segundo grado
Uso de la formula general para ecuaciones de segundo grado
Deshacemos el cambio de variable y obtenemos las raíces
x^{2} =3 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=\pm \sqrt{3}
Explicación paso a paso: