10) Se sabe que dos funciones polinómicas f y g admiten raíces comunes 2,3 y -7.
Sea r el resto de dividir f entre g.
a) Hallar r si se sabe que r(0) = -14.
b) Hallar g si se sabe que g(0) = 42 y g(1)=0.
c) Hallar f sabiendo que q(x) = 2x+1 siendo q el cociente de la división anterior.
d) Hallar raíces de h = f-g .
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
Las bases de Gröbner son un conjunto finito de polinomios de múltiples variables. En el presente trabajo se hará uso de las bases de Gröbner para el caso particular de la resolución de las ecuaciones de consistencia de un método de Runge-Kutta explícito de orden 2 y 3.
os sistemas de ecuaciones a resolver son los siguientes:
Orden 2 con 2 etapas:
Sistema con dos ecuaciones y tres incógnitas.
Orden 3 con 3 etapas:
Sistema con cuatro ecuaciones y seis incógnitas.
Ambos sistemas de ecuaciones cuentan con más incógnitas que ecuaciones, por lo que en principio, tienen infinitas soluciones. La opción más común para la resolución de estos sistemas podría ser resolverlo por sustitución y dejar el resultado en función de un parámetro en el primer caso y de dos en el segundo.
El resultado obtenido haciendo uso de las bases de Gröbner tiene que ser equivalente a cualquier otro resultado obtenido mediante cualquier otra técnica.
En general, el procedimiento de las bases de Gröbner consiste en generar un ideal que es un conjunto de ecuaciones que tiene la misma solución que el sistema original pero de más fácil solución.
Matriz de Silvester
Sean los siguientes polinomios de una variable y coeficientes en un cuerpo *,
f(x) = a0 + a1 ·x + … + ak · xk
g(x) = b0 + b1 · x + … + bl ·xl
con ak y bk no nulos, interesa conocer cuándo el sistema:
tiene solución. Una respuesta inmediata nos dice que el sistema admite solución si y sólo si el grado del máximo divisor de f(x) y g(x) es mayor o igual a uno. En efecto, si la solución x* existe, entonces x será primo común de f(x) y g(x). Además el polinomio x-x* dividirá a cada ecuación del sistema.
Se define la matriz de Silvester para los polinomios f(x) y g(x) de la siguiente manera :
Esta matriz es cuadrada y, por tanto, se puede calcular su determinante. De hecho, el determinante de esta matriz es conocido como el Resultante de los polinomios f(x) y g(x) y se expresa como Res(f,g).
Se puede demostrar que si Syl(f,g) es invertible, entonces f(x) y g(x) son primos entre sí. Por lo tanto no tienen raíces comunes. En este caso, el sistema no admite solución.
Si Syl(f,g) es singular, se pueden obtener dos polinomios p(x) y q(x) con grad(p)<grad(g) y grad(q)<grad(f) tales que p(x)f(x)+q(x)g(x) = 0. En este caso sí hay solución.
En general, el sistema no tiene solución si y sólo si existen los polinomios pi(x) tales que .
Esto se puede generalizar para un sistema de ecuaciones polinómicas de varias variables de la siguiente manera:
Dado un sistema de polinomios de la forma , es necesario y suficiente que existan unos polinomios , tales que:
para que el sistema no tenga solución.
Ordenación de monomios
El cálculo de las bases de Gröbner varía sustancialmente cuando se usan diferentes ordenaciones de los monomios que integran el sistema de ecuaciones original. Consideraremos polinomios en las variables x1,x2,...,xn. Para ordenar dichas variables, asumiremos que:
x1 > x2 > x3 > ... > xn
La ordenación lexicográfica (lex) se define como si y solo si el elemento más a la izquierda no nula en el vector es positivo. Se tomarán y como los vectores que contienen las potencias de los monomios en las variables incluidas en el sistema.
Explicación paso a paso: