Question

10.- El lado mayor de un terreno triangular mide 1700 m, los otros dos lados forman angulos de 56º y 71º10' respectivamentes con ese
lado. Cálcula el área del terreno.

Answer 1

Solución
Llamando $A\,B\,y\,C$ al triángulo cuyos ángulos miden $A=56\,B=180-56-71=53\,C=71$ y sus lados miden; $a=x\,b=x\,c=1700\,m$
Usando la ley de los senos para encontrar a nos queda: $\frac{a}{\sin(A)}=\frac{c}{\sin(C)}\\a\sin(C)=c\sin(A)\\a=\frac{c\sin(A)}{\sin(C)}\\a=\frac{(1700\,m)(\sin(56)}{\sin(71)}\\a=1490$
Similarmente para b usando.la ley de los cosenos nos queda: $b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos(B)\\b=\sqrt{a^{2}+c^{2}-2ac\cos(B)}\\b=\sqrt{(1490\,m)^{2}+(1700\,m)^{2}-2(1490\,m)(1700\,m)\cos(53)}\\b=1436\,m$
Si ahora trazamos una vertical que parta del ángulo B y la prolongamos hasta cortar su lado correspondiente b,obtendremos dos triángulos rectángulos de ángulos $A=180-90-71=19\\B=71\\C=90$
y
$A'=56\\B'=180-90-56=34\\C'=90$
Usando el primer triángulo para obtener la altura b, mediante la ley de los senos nos queda:
$\frac{b}{\sin(B')}=\frac{c}{\sin(C')}\\b\sin(C')=c\sin(B')\\b=\frac{c\sin(B')}{\sin(C')}\\b=\frac{(1490\,m)(\sin(71))}{\sin(90)}\\b=1408\,m$
Luego como ya tenemos la base y la altura,podemos calcular fácilmente el área y se obtiene:
$A=\frac{bh}{2}\\A=\frac{(1436\,m)(1408\,m)}{2}\\A=1010944\,m^{2}$
Saludos

Answer 2

El área del terreno es igual a 959707,18 m²

Transformación de los grados

Realizamos la transformación de los 71°10' a grados, esto se cumple tomando en cuenta que 60 segundos son un minuto y 60 minutos a grados, entonces:

10' = 10'*(1°/60'') = 1/6° = 0,1667°

Por lo tanto:

71°10' = 71,1667°

Cálculo de la altura

Tenemos que la altura de este triángulo divide al triángulo en dos partes iguales: donde los lados de la base miden x y 1700 - x respectivamente, luego usando trigonometría si "h" es la altura:

tg(α) = cateto opuesto/cateto adyacente

Por lo tanto:

tg(56°) = h/x ⇒ h = tg(56°)*x

tg(71,1667°) = h/(1700 - x) ⇒ h = tg(71,1667°)*(1700 - x)

Igualamos las ecuaciones

tg(56°)*x = tg(71,1667°)*(1700 - x)

tg(56°)*x = tg(71,1667°)*1700 -  tg(71,1667°)*x

tg(56°)*x  + tg(71,1667°)*x = tg(71,1667°)*1700

x*(tg(56°) + tg(71,1667°)) = tg(71,1667°)*1700

x = tg(71,1667°)*1700/(tg(56°) + tg(71,1667°))

x = 1129,08 metros

Cálculo del área del terrero

A = 1700 m*1129,08 metros/2

A = 959707,18 m²

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