Question

10 -Dos poblados Pa y Pb están a 2 km y 3 km, respectivamente, de los puntos más cercanos A y B sobre una línea de transmisión, los cuales están a 4 km uno del otro. Si los dos poblados se van a conectar con un cable a un mismo punto de la línea, ¿cuál debe ser la ubicación de dicho punto para utilizar el mínimo de cable?

Answer 1

Dos poblados Pa y Pb están a 2 km y 3 km, respectivamente, de los puntos más cercanos A y B sobre una línea de transmisión. Cuando x es igual a 1,6 km la longitud del cable es la mínima de 6,4 km aproximadamente

Optimizacion:

Sea C el punto de conexión

l: longitud del cable para conectar Pa y Pb

l = PaC +PbC

Aplicamos Teorema a de Pitagoras:

l = √(x²+2²) + √(4-x)²+3²

l= √x²+4 +√(4-x)²+9

l = (x²+4)∧1/2 + [(4-x)²+9]∧1/2

Derivando y obteniendo puntos críticos:

I`= 1/2(x²+4)∧-1/2 (2x) +1/2  [(4-x)²+9]∧- 1/2 * 2(4-x)(-1)

I`= x/√x²+4  -(4-x)/ (√(4-x)²+9)

I`= 0

x/√x²+4  = (4-x)/ (√(4-x)²+9)

x (√(4-x)²+9) = (4-x) √x²+4

Elevamos al cuadrado ambos lados de la igualdad

x²(4-x)² +9 = (4-x)²(x²+4)

x²(4-x)²+9x² = x²(4-x)² +(4-x)²

9x² = 4(4-x)²

9x² = 4(16-8x+x²)

5x²+32x-64 = 0

Ecuación de segundo grado que resulta en:

x₁ =-8

x₂=1,6

¿cuál debe ser la ubicación de dicho punto para utilizar el mínimo de cable?

Sustituimos x = 0 x = 1,6 y  x= 4 en:

l = √(x²+2²) + √(4-x)²+3²

l(0) = 7 km

l(1,6) 6,5 km

l(4) = 7,5 km

Cuando x es igual a 1,6 km la longitud del cable es la mínima de 6,4 km aproximadamente