10. Determina el valor de x de acuerdo con las propiedades de los triángulos
Respuestas a la pregunta
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falto el ejercicio XD :v
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La resolución de triángulos (del latín solutio triangulorum) es uno de los principales problemas de los que se ocupa la trigonometría. Consiste en determinar las dimensiones características de un triángulo (sus ángulos y las longitudes de sus lados), cuando algunos de estos datos son conocidos. El triángulo se encuentra en un plano o en una esfera. Aplicaciones que requieren la resolución de triángulos incluyen la geodesia, la astronomía, la construcción y la navegación.
Explicación paso a paso:
n triángulo de forma general tiene seis características principales (véase el cuadro): tres lineales (las longitudes de los lados a, b, c) y tres angulares (α, β, γ). En los problemas clásicos de trigonometría en el plano se deben especificar tres de las seis características y determinar las otras tres. En este sentido, un triángulo puede ser determinado por completo únicamente en los siguientes casos:12
Tres de sus lados (LLL)
Dos lados y el ángulo incluido (LAL)
Dos lados y un ángulo no comprendido entre ellos (LLA), si la longitud del lado adyacente al ángulo es menor que la longitud del otro lado.
Un lado y los dos ángulos adyacentes a él (ALA)
Un lado, el ángulo opuesto a él y un ángulo adyacente (AAL)
Tres ángulos (AAA) sobre la esfera (pero no en el plano).
Para todos los casos en el plano, se debe especificar al menos la longitud de uno de los lados. Si solo se dan los ángulos, no es posible determinar las longitudes de los lados, ya que cualquier triángulo semejante es una solución del problema.
Teoremas principales
Esquema general de los pasos y teoremas utilizados en la resolución de triángulos. En color verde, las características conocidas, y en color gris, las desconocidas.
El método general para resolver el problema es utilizar relaciones trigonométricas fundamentales.
Teorema del coseno
{\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha }{\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha }
{\displaystyle b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta }{\displaystyle b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta }
{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }
Teorema de los senos
{\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}}{\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}}
Suma de ángulos
{\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }}{\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }}
Teorema de la tangente
{\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\mathrm {tan} [{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )]}{\mathrm {tan} [{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )]}}.}{\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\mathrm {tan} [{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )]}{\mathrm {tan} [{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )]}}.}
Existen otras relaciones generales (a veces útiles en la práctica): el Teorema de la cotangente y las Fórmulas de Mollweide.
Notas
Para encontrar un ángulo desconocido, el teorema del coseno es más útil que el teorema de los senos. La razón es que el valor del seno del ángulo del triángulo no determina unívocamente este ángulo. Por ejemplo, si sin β = 0.5, el ángulo β puede ser igual a 30° o 150°. Usando el teorema del coseno se evita este problema: dentro del intervalo de 0° a 180° el valor del coseno determina inequívocamente su ángulo. Por otro lado, si el ángulo es pequeño (o cercano a 180°), entonces es más robusto numéricamente determinar el ángulo a partir de su seno que de su coseno, porque la función arcocoseno presenta una derivada divergente en 1 (o −1).
Se supone que se conoce la posición relativa de los elementos especificados. En caso contrario, el triángulo simétrico también será una solución. Por ejemplo, las tres longitudes de los lados definen tanto un triángulo dado como su simétrico.