Question

∫√(1+x^4 ) x^3 dx
Alguien sabe?

Answer 1

Respuesta: (1/6) √(1+x^4)³ + C,  donde C es una constante de integración

Explicación paso a paso: Método de sustitución.

∫√(1+x^4 ) x³ dx  ............. (1)  

Se hace el cambio de variable  M = 1 + x^4 . Entonces:

dM = 4x³ dx  ⇒ dx  = dM / 4x³ . Al sustituir en la integral (1), resulta:

 ∫√(1+x^4 ) x³ dx  =  ∫(√M ). x³ . dM /4x³  = 1/4 ∫(√M ) dM  

                                  = 1/4 ∫ [ M^(1/2) ] dM

                                  = 1/4 {[ M^(1 + 1/2) ] / (1 + 1/2)}  +  C

                                  = 1/4 [ M^(3/2) ] / 3/2   +   C

                                  = (1/4)(2/3)[ M^(3/2) ]   +   C

                                  =  (1/6) [ M^(3/2) ]   +   C

Al recobrar la variable original, sabiendo que  M = 1 + x^4 , resulta:

(1/6) [ M^(3/2) ]   +   C  =  (1/6) [ 1 + x^4 ]^(3/2)  +  C

                                      =  (1/6) √(1+x^4)³    +   C, donde C es una constante .